考点23正弦定理和余弦定理的应用2020年领军高考数学理一轮必刷题教师版备战2020年高考理科数学必

1考点23正弦定理和余弦定理的应用1．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（）A．等边三角形B．直角边不相等的直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】因为、、依次成等差数列，所以由余弦定理可得：将代入上式整理得：所以，又可得：为等边三角形故选：A．2．如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，2则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，则有，变形可得BC，在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，则AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9，则AB＝3；故选：C．3．（吉林省长春市2019年高三质量监测四）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A．步B．步C．步D．步【答案】A【解析】因为，所以，所以；又，所以，所以；又，所以，即，所以步，又，所以步.3故选A．4．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若sincossinCAB，则ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，sinCcosAsinB变形为sinsincosCBA由内角和定理可得sin()cossinABAB化简可得：sincos0cos0ABB所以2B所以三角形为钝角三角形故选A．5．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考）已知锐角ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c，三角形ABC的面积1ABCS，则22ab的取值范围为()A．17,2B．9,C．17,92D．17,92【答案】D【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作CDAB于D，D在边AB上，如图：因为：112SABCABCD，所以2CD，在三角形ADC中，2224ADACCDb，在三角形BDC中，2224BDBCCDa，41ADBDAB，22441ab，222222222222448(4)(4)8(4)(14)8abababaa2222(4)249aa240,1a．设240,1ta222229attb结合二次函数的性质得到：2217,92ab．故选：D．6．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观.已知20ABm,10ACm,则DEF区域内面积(单位：2m)的最小值为（）A．253B．(,0)BmC．1)D．7537【答案】D【解析】△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10m，可得CB103m，DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝π6+θ；则CE＝xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得x103xcosθππsinsinθ66可得x1031033sinθ2cosθ7sinθα，其中tanα233；∴x1037；5则△DEF面积S21π753xsin237故选：D．7．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试）小王同学骑电动自行车以24/kmh的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，20min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是__________km．【答案】42【解析】依题意有20248,30,1807510560ABBASABS,45ASB，由正弦定理得sin30sin45BSAB，解得42BS.8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为_______．【答案】233【解析】设AMx，AMN，则1BMx，1802AMB，∴260BAM，在ABM中，由正弦定理可得sinsinAMBMABMBAM，即1sin26032xx，∴323sin2602x，∴当26090即75时，x取得最小值32233312．故答案为：233．69．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试）海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东的方向上，航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离______.【答案】【解析】在中，由题意可得∴由正弦定理∴∵在中，由于由正弦定理可得可得∴中，由余弦定理可得∴解得即C、D之间的距离为故答案为．10．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）在锐角ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，2c，3A，则sinaC__________．ab的取值范围是__________．7【答案】331,423【解析】由正弦定理，可得sinsinacAC，则πsinsin2sin33aCcA.由sinsinsinabcABC，可得sin3sinsincAaCC，2π2sinsin3sinsinCcBbCC，所以223cos31cos33cossin32111sinsinsin2sincostan222CCCCabCCCCCC.由ABC△是锐角三角形，可得π02C，2ππ032C，则ππ62C，所以ππ124C，23tan12C.所以3131=42323ab.11．（河北省衡水市2019届高三四月大联考理）ABC中，120BAC，4ABAC，点D在边BC上，且3DCBD.（1）求AD的长；（2）若DHAC于H，求cosADH.【答案】（1）7AD（2）321cos14ADH【解析】（1）在ABC中，120BAC，4ABAC，由余弦定理得2222cosBCABACABACBAC，∴21616244cos12048BC，∴43BC．∵3DCBD，∴3BD，∴在ABD中，4AB，3BD，30ABD，8由余弦定理得2222cosADABBDABBDABD，即2163243cos307AD，∴7AD．（2）由（1）知33DC，∴在直角CHD中，33sin33sin302DHCDDCA，∴在直角AHD中，333212cos147DHADHAD．12．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）在平面四边形中，已知，，．（1）若，求的面积；（2）若，，求的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，即,解得.所以.（2）因为,所以，,.在中，,.9所以.13．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试）如图平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，1AB，3BC，ACCD，ACCD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为__________．【答案】16【解析】设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则由余弦定理得，AC2＝1+3﹣2×13cosα＝4﹣23cosα；由正弦定理得ACABsinsin，则sinβ423sincos；所以BD2＝3+（4﹣23cosα）﹣23423coscos（90°+β）＝7﹣23cosα+23sinα＝7+26sin（α﹣45°），所以α＝135°时，BD取得最大值为72616．故答案为：16．14．（湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中荆州中孝感中襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考）如图所示，在平面四边形ABCD中，若AD2，CD4，ABC为正三角形，则BCD面积的最大值为___．10【答案】443【解析】设ADC，ACD，由余弦定理可得222422422016ACcoscos，2128ACcosAC，由正弦定理可得ADACsinsin，即2sinsinAC，所以11322322BCDSBCCDsinBCsincos，212i31220161222i344322883snACcosBCsnsinACAC，故当56时，BCD面积最大，最大值为443．15．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试理）如图：在ABC中，10a，4c，5cos5C.（1）求角A；（2）设D为AB的中点，求中线CD的长.【答案】（1）4A；（2）2【解析】（1）∵5cos5C，∴2125sin1cos155CC.11由正弦定理sinsinacAC，即104sin255A.得2sin2A，∵5cos05C，∴C为钝角，A为锐角，故4A.（2）∵BAC，∴sinsinsincoscossinBACACAC2522510252510.由正弦定理得sinsinbaBA，即10102102b得2b.在ACD中由余弦定理得：2222cosCDADACADACA22422222，∴2CD.16．（河南省洛阳市2019届5月质量检测）已知ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，cos2cosaBbcA，1AD.（1）求A；（2）求ABC面积的最大值.【答案】（1）23A（2）3【解析】（1）由正弦定理得：sincossin2sincosABBCA即：sincoscossinsinsin2sincosABABABCCA0,Csin0C1cos2A0,A23A12（2）DQ为BC边的中点12ADABAC222242ADABACABABACAC，又1AD2222242cos23cbcbbcbcbcbc，即4bc当且仅当bc时取等号113sin43222ABCSbcA（当且仅当bc时取等号）ABC∴面积的最大值为3．17．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）江心洲有一块如图所示的江边，OA，OB为岸边，岸边形成120角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边OB上取