考点26平面向量的数量积与平面向量应用举例2020年领军高考数学理一轮必刷题教师版备战2020年高考

1考点26平面向量的数量积与平面向量应用举例1、已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为()A．12B．8C．－8D．2【答案】A【解析】∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.2、若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】B【解析】OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，所以|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|⇒|AB→＋AC→|2＝|AB→－AC→|2⇒AB→·AC→＝0，所以三角形为直角三角形．故选B.3、已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，3)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为()A．－23B．23C．43D．63【答案】B【解析】∵a＝(－2，m)，b＝(1，3)，∴a－b＝(－2，m)－(1，3)＝(－3，m－3)．由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－3)·(1，3)＝－3＋3m－3＝3m－6＝0，解得m＝23.故选B.4、设M为边长为4的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点(含边界)，则AM→·AN→的最大值为()A．32B．24C．20D．16【答案】B【解析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(4,4)，M(4,2)，设N(x，y)(0≤x，y≤4)，则AM→·AN→＝4x＋2y≤4×4＋2×4＝24，当且仅当AN→＝AC→时取等号，故选B.5、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝3，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝()A．2B．23C．4D．43【答案】B【解析】由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝3，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b22＝4.所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝23.6、已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且AB→＋AC→＝AD→，则△ABC的面积的最大值为()A．3B．4C．33D．43【答案】B【解析】由题设AB→＋AC→＝AD→，可知四边形ABDC是平行四边形．由圆内接四边形的性质可知∠BAC＝90°，且当AB＝AC时，四边形ABDC的面积最大，则△ABC的面积的最大值为Smax＝12AB·AC＝12×(22)2＝4.故选B.7、已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()A.π2B．π3C．π4D．π6【答案】B【解析】a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝31×6＝12，所以向量a与b的夹角为π3.8、在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝a，cosA2，n＝b，cosB2，p＝c，cosC2共线，则△ABC形状为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由题意得acosB2＝bcosA2，acosC2＝ccosA2，由正弦定理得sinAcosB2＝sinBcosA2⇒sinB2＝sinA2⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.9、已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)．若a＋2b与c垂直，则k＝()A．－3B．－2C．1D．－1【答案】A【解析】因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3.10、已知点M(－3,0)，N(3,0)。动点P(x，y)满足|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，则点P的轨迹的曲线类型为()3A．双曲线B．抛物线C．圆D．椭圆【答案】B【解析】MN→＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，|MN→|＝6，MP→＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，NP→＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝6x＋2＋y2＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.11、在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2,1)，则AD→·AC→＝()A．5B．4C．3D．2【答案】A【解析】由四边形ABCD是平行四边形，知AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD→·AC→＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.12、称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)【答案】C【解析】由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.13、若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b的坐标为()A．(3，－6)B．(－3,6)C．(6，－3)D．(－6,3)【答案】A【解析】由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b＝(3，－6)．故选A.14、已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－32，则λ＝()A.12B．1±224C.1±102D．－3±222【答案】A【解析】∵BQ→＝AQ→－AB→＝(1－λ)AC→－AB→，CP→＝AP→－AC→＝λAB→－AC→，又BQ→·CP→＝－32，|AB→|＝|AC→|＝2，A＝60°，AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos60°＝2，∴[(1－λ)AC→－AB→]·(λAB→－AC→)＝－32，即λ|AB→|2＋(λ2－λ－1)AB→·AC→＋(1－λ)|AC→|2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12.15、在△ABC中，若AB→·AC→＝AB→·CB→＝2，则边AB的长等于________．【答案】2【解析】由题意知AB→·AC→＋AB→·CB→＝4，即AB→·(AC→＋CB→)＝4，即AB→·AB→＝4，所以|AB→|＝2.16、如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝13AB，则DM→·DB→＝________.【答案】1【解析】因为DM→＝DA→＋AM→＝DA→＋13AB→，DB→＝DA→＋AB→，所以DM→·DB→＝DA→＋13AB→·(DA→＋AB→)＝|DA→|2＋13|AB→|2＋43DA→·AB→＝1＋43－43AD→·AB→＝73－43|AD→|·|AB→|·cos60°＝73－43×1×2×12＝1.8．(2019重庆调研)已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．【答案】3π3【解析】由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，所以cosθ＝－12，又因为0≤θ≤π，所以θ5＝2π3.16、已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)．若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.【答案】82【解析】由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋－2＝82.17、在平面直角坐标系内，已知B(－3，－33)，C(3，－33)，且H(x，y)是曲线x2＋y2＝1上任意一点，则BH→·CH→的最大值为________．【答案】63＋19【解析】由题意得BH→＝(x＋3，y＋33)，CH→＝(x－3，y＋33)，所以BH→·CH→＝(x＋3，y＋33)·(x－3，y＋33)＝x2＋y2－9＋63y＋27＝63y＋19≤63＋19，当且仅当y＝1时取最大值．18、已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．【答案】2π3【解析】∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12.又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为2π3.19、已知点A(1－m,0)，B(1＋m,0)，若圆C：x2＋y2－8x－8y＋31＝0上存在一点P使得PA→·PB→＝0，则m的最大值为________．【答案】6【解析】圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝1，圆心C(4,4)，半径r＝1，设P(x0，y0)，则PA→＝(1－m－x0，－y0)，PB→＝(1＋m－x0，－y0)，所以PA→·PB→＝(1－x0)2－m2＋y20＝0，即m2＝(x0－1)2＋y20.所以|m|为点P与点M(1,0)之间的距离，当|PM|最大时，|m|取得最大值．因为|PM|的最大值为|MC|＋1＝－2＋42＋1＝6，所以m的最大值为6.20、已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【答案】－∞，－43∪0，13∪13，＋∞【解析】a与b的夹角为锐角，则a·b0且a与b不共线，则3λ2＋4λ0，2λ－6λ2≠0，解得λ－43或0λ13或λ13，所以λ的取值范围是－∞，－43∪0，13∪13，＋∞.21、已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.6(1)若m⊥n，求角α.(2)若|m－n|＝2，求cos2α的值．【答案】(1)2kπ＋π6或2kπ＋5π6，k∈Z.(2)－18【解析】(1)向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，若m⊥n，则m·n＝0，即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，即sinα＝12，可得α＝2kπ＋π6或2kπ＋5π6，k∈Z.(2)若|m－n|＝2，即有(m－n)2＝2，即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2，即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即有8－8sinα＝2，可得sinα＝34，即有cos2α＝1－2sin2α＝1－2×916＝－18.22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．【答案】(1)1(2)5π12.【解析】(1)若m⊥n，则m·n＝0.∴22sinx－22cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为π3，∴m·n＝|m||n|cosπ3＝1×1×12＝12，即22sinx－22cosx＝12，∴sinx－π4＝12.又x∈0，π2，∴x－π4∈－π4，π4，∴x－π4＝π6，即x＝5π12.23、已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.7(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA→·(AB→－AC→)＝18，求边c的长．【答案】(1)π3(2)6【解】(1)m·n＝sin