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1考点45立体几何中的向量方法1．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB底面ABCD，E为PC上的点，且BE平面APC（1）求证：平面PAD平面PBC；（2）当三棱锥ABCP体积最大时，求二面角BACP的余弦值．2．（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．（1）证明：AP⊥平面PBC（2）求二面角P—AB一C的余弦值3．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且2PAAD，120PADBAD，E，F分别为PD，BD的中点，且62EF.2（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求锐二面角EACD的余弦值.4．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，，平面，二面角为为中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的余弦值．5．（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以,,,,,ABCDEF为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，23AFFD，90AFD，且二面角EAFD与二面角CBEF都是30.（1）证明：AF平面EFDC；（2）求直线BF与平面BCE所成角的正弦值.6．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD中，BCCD，C//DAB，22ABCDBC，AEBE，AEBE（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.3（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.7．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）如图，已知四棱锥中，四边形ABCD为矩形，22AB，2BCSCSD，BCSD.（1）求证：SC平面SAD；（2）设12AEEB，求平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值.8．（陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理）如图，在三棱柱111ABCABC中，AB平面11BBCC，E是1CC的中点，1BC，12BB，160BCC°.（1）证明：1BEAE；（2）若2AB，求二面角11ABEA的余弦值.9．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，，是的中点.4（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.10．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点（I）求证：平面；（II）求二面角的正弦值；（III）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。11．（东北三省三校（辽宁省实验中东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学理）如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.512．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.13．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试数学理）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点．以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．（Ⅰ）求证：BC⊥平面POF；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得AM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．14．（湖南省长沙市第一中学2018届高三下学期高考模拟卷三数学理）如图，菱形的对角线与交6于点，，，点，分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.（I）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.15．（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）如图，已知圆柱，底面半径为1，高为2，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其路径最短时在侧面留下的曲线记为：将轴截面绕着轴，逆时针旋转角到位置，边与曲线相交于点.（1）当时，求证：直线平面；（2）当时，求二面角的余弦值.16．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测数学理）如图，正方形边长为，平面平面，．7(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．17．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）已知四棱锥的底面是菱形，，底面，是上的任意一点.（1）求证：平面平面；（2）设，是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.18．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆周上（异于、），点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径为1，高为2.（1）若平面平面，证明：；（2）若直线与平面所成线面角的正弦值等于，证明：平面与平面所成锐二面角的8平面角大于.19．（四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学理）已知三棱锥PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于22的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：（Ⅰ）证明：平面PAC平面ABC；（Ⅱ）若点M为棱PA上一点且12PMMA，求二面角PBCM的余弦值．20．（福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检数学理）四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，//ADBC，1AB，22ADBC， 3PD．（1）求证:平面PBD平面PAC;（2）M为棱PB上异于B的点，且AMMC，求直线AM与平面MCD所成角的正弦值．21．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）如图，在三棱锥DABC中，ABC为等边三角形，DACDAB，BCD面积是ABC面积的两倍，点M在侧棱AD上.9（1）若BMAD⊥，证明：平面ACD平面BCM；（2）若二面角DBCA的大小为23，且M为AD的中点，求直线BM与平面ACD所成角的正弦值.22．（河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二)数学（理）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且60ABC，BM平面ABCD，BMDN，2BMDN，点E是线段MN上任意一点．(1)证明：平面EAC平面BMND；(2)若AEC的最大值是23，求三棱锥MNAC的体积．23．（陕西省渭南市2019届高三二模数学理）已知ABC是等腰直角三角形,,22ACBAC．,DE分别为,ACAB的中点,沿DE将ADE折起,得到如图所示的四棱锥1ABCDE．(Ⅰ)求证：平面1ADC平面1ABC．(Ⅱ)当三棱锥1CABE的体积取最大值时,求平面1ACD与平面1ABE所成角的正弦值．24．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测（三)数学理）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AB//CDADBD2，，AB22,CD4，点M是EC的中点．(1)求证:平面ADEF平面BDE.(2)求二面角EBDM的余弦值.10