考点54圆锥曲线的综合问题教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点54圆锥曲线的综合问题1．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学理）已知双曲线2214yx的两条渐近线分别与抛物线22(0)ypxp的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若OAB的面积为1，则p的值为（）A．1B．2C．22D．4【答案】B【解析】双曲线2214yx的渐近线为2yx，抛物线22ypx的渐近线为2px，渐近线与准线的交点为(,)2pp，(,)2pp，所以12122OABpSp，2p，故选B．2．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）过双曲线2222xyab1（a＞0，b＞0）的一个焦点F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F1B的中点，则双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2D．5【答案】C【解析】由题意可知，渐近线方程为y＝±bax，则F1A的方程为y﹣0ab（x+c），代入渐近线方程ybax可得B的坐标为（222acba，22abcba），因为若A恰好是F1B的中点，所以|OB|＝c，所以（222acba）2+（22abcba）2＝c2，所以b2＝3a2，所以c2＝a2+b2＝4a2，所以e＝2故选：C．23．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题理）已知(0,3)A，若点P是抛物线28xy上任意一点，点Q是圆22(2)1xy上任意一点，则2||PAPQ的最小值为（）A．434B．221C．232D．421【答案】A【解析】设点，由于点P是抛物线上任意一点，则20008(0)xyy，点(0,3)A，则22222000000(3)8(3)29PAxyyyyy，由于点Q是圆22(2)1xy上任意一点，所以要使2||PAPQ的值最小，则PQ的值要最大，即点P到圆心的距离加上圆的半径为PQ的最大值，则22200000max(2)18(2)13PQxyyyy，22002000000()4()12||129333)3(3243yyyyPPyyyQyA，0000333(31212()2())43yyyy，经检验满足条件，2||PAPQ的最小值为434，故答案选A。4．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知A、B是抛物线220ypxp上的两点，直线AB垂直于x轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且455ABAF，AFC△的面积为252，则p的值为（）A．2B．1C．2D．4【答案】C【解析】过点A做AH垂直于准线，垂足为H，做CG垂直于AB，垂足为G，根据抛物线的定义AH=AF，//CEAB，因此DE=AH=CG=AF，3由AFCABCAFBSSS，12ABCSABCGADCG，12AFBSABDFADDF得()()AFCSADCGADDFADCGDFADDEDFADEF又5DEAFDF，则(51)EFDF，2512251EFADDFEF，可得2512AFCSEF，又因252AFCS，所以EF=2，因为EF正好是焦点到准线的距离，即2p.故选C.5．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）已知抛物线24xy，斜率为12的直线交抛物线于A，B两点.若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，则点P到直线AB的距离为（）A．52B．5C．12xxD．25【答案】B【解析】设121221112212,,,,,-1,,+1,+1222xxxxxxAxyBxyPPAyPBy，根据题意得到0PAPB，设直线方程为2xyn联立直线和抛物线方程得到：224410ynyn4221221216116014nnyynnyy212121104xxPAPByy化简得到2121212510yyyyyy根据韦达定理，将根的和与乘积代入化简得到2n.此时直线为22yx，点P坐标为1212,-12,-11,12xxPPyyP根据点到直线的距离公式得到：1225.5d故答案为：B.6．（福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试数学理）如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，∴三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，5∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故选：B．7．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三数学理）已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为12ee、，则221211ee=（）A．32B．2C．52D．3【答案】B【解析】如图由题，设椭圆的长半轴为1a，双曲线的半实轴为2a，根据椭圆和双曲线定义：122,2ABBCaBCABa可得1212,BCaaABaa设2ACc在直角三角形ABC中，由勾股定理可得22212124()()caaaa即222122aac6即221211+=ee2故选B8．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学理）已知椭圆2222:10xyCabab的短轴长为42，离心率为13。（1）求椭圆C的标准方程;（2）设椭圆C的左，右焦点分别为1F，2F左，右顶点分别为A，B，点M，N，为椭圆C上位于x轴上方的两点，且12//FMFN，记直线AM，BN的斜率分别为1k，2k，若12320kk，求直线1FM的方程.【答案】（1）22198xy+=（2）26260xy【解析】（1）由题意，得2b42，c1a3.又222acb，∴a3，b22，c1.∴椭圆C的标准方程为22xy198（2）由（1），可知A3,0，B3,0，1F1,0.据题意，直线1FM的方程为xmy1记直线1FM与椭圆的另一交点为M，设111Mx,yy0，22Mx,y.∵12FM//FN，根据对称性，得22Nx,y.联立228x9y721xmy，消去x，得228m9y16my640，其判别式Δ0，∴12216myy8m9，12264yy8m9.①由123k2k0，得12123y2y0my2my2，即12125myy6y4y0.②7由①②，解得12128my8m9，22112my8m9∵1y0，∴m0.∴12222128m?112m64yy8m98m9.∴6m12.∴直线1FM的方程为6xy112，即26xy260.9．（天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学理）已知椭圆2222:1xyCabab0的离心率为63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为2.(I)求椭圆C的方程;(II)设与圆223:4Oxy相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点)，3cos2tanOAOABOBA的最大值.【答案】I.2213xy；Ⅱ.2【解析】I.由题设：6,3ca两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为22bc，故，解得223,1ab∴椭圆C的方程为2213xyⅡ.设1122,x,AxyBy、1.当ABx轴时，3AB2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm8由已知2321mk，得22314mk设三角形OAB的高为h即圆的半径,直线和圆的切点为M点，根据几何关系得到：3cos2tanOAOABOBA=||||tanhAMAMBMABOBA，把ykxm代入椭圆方程消去y，整理得222316330kxkmxm,有2121222316,3131mkmxxxxkk得当且仅当2219,kk，即33k时等号成立.当0k时，3AB综上所述maxmax3cos22tanOAOABABOBA10．（2017届山东省淄博市高三3月模拟考试数学理）已知椭圆C：22221(0)xyabab经过点3(1,)2，离心率为32，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点1122(,),(,)PxyQxy.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当•0APAQ时，求OPQ面积的最大值；（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：OPQ的外接圆恒过一个异于点A的定点.9【答案】（I）2214xy；（II）2425；（III）308,1717.【解析】解：（Ⅰ）由题意知：且2222232{141caabcab，可得：2{13abc，椭圆C的标准方程为2214xy.（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设:lxm，与2214xy联立得：22,1,,144mmPmQm.由于•0APAQ，得222104mm，解得65m或2m（舍去）.此时85PQ，OPQ的面积为2425.当直线l的斜率存在时，设:lykxm，与2214xy联立得：222418410kxkmxm.由0，得22410km；且122841kmxxxk，212241*41mxxk.由于•0APAQ，得：2212121212221240xxyykxxkmxxm.代入*式得：22125160kmkm，10即65mk或2mk（此时直线l过点A，舍去）.222221212241414141PQkxxxxkkmk，点O到直线l的距离为：21mdk.OPQ的面积为22224141mkmk，将65mk代入得：OPQ的面积为2222491712411125256642544kk.OPQ面积的最大值为2425.（Ⅲ）设直线l的方程为ykxm，联立方程2214xy得：221716410xmxm①.设APQ的外接圆方程为220xyDxEyF：联立直线l的方程ykxm的：225420xMDExmmEF②.方程①②为同解方程，所以：22411716542mmmDEmmEF.又由于外接圆过点2,0A，则24DF.从而可得到关于,,DEF的三元一次方程组：22412{2173201717DFDEmmEFm，解得：62417312{17122017mDmEmF.代入圆的方程为：2262431212200171717mmmxyxy.整理得：22241220324017171717mxyxyxy；11所以222412200{171717240xyxyxy，解得3017{817xy或2{0xy（舍去）.APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点308,1717.11．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）已知椭圆2222:10xyCabab