考点57二项式定理教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点57二项式定理1．(2-x)(1+2x)5展开式中,含x2项的系数为()A.30B.70C.90D.-150【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为Tr+1=·,∴展开式中,含x2项的系数为2××22-×2=70,故选B.2．(1－3x)7的展开式的第4项的系数为()A．－27C37B．－81C47C．27C37D．81C47【答案】A【解析】(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C37×17－3×(－3x)3＝－27C37x3，其系数为－27C37，选A.3．设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.2【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为=·=(-1)k,令=0,得k=,∴n可取10.4．(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为()A．－30B．120C．240D．420【答案】B【解析】[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C26(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C34×23，x2y2项的系数为C24×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为C26C34×23－C26C24×22＝480－360＝120，故选B.5．设a=sinxdx,则的展开式中常数项是()A.160B.-160C.-20D.20【答案】B【解析】由题意得a=sinxdx=(-cosx)=2.∴二项式为,其展开式的通项为Tr+1=·=(-1)r·26-r·x3-r,令r=3,则得常数项为T4=-23·=-160.故选B.6．(x＋y＋z)4的展开式的项数为()A．10B．152C．20D．21【答案】B【解析】(x＋y＋z)4＝[(x＋y)＋z]4＝C04(x＋y)4＋C14(x＋y)3z＋C24(x＋y)2z2＋C34(x＋y)z3＋C44z4，运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1＝15项，选B.7．(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为()A.7B.-7C.42D.-42【答案】B【解析】将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为×(-1)=-7.8．1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87【答案】B【解析】1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1.∵前10项均能被88整除,∴余数是1.9．x2－3x＋4x1－1x5的展开式中常数项为()A．－30B．30C．－25D．25【答案】C【解析】x2－3x＋4x1－1x5＝x21－1x5－3x1－1x5＋4x1－1x5，1－1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(－1)r1xr，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝C45(－1)41x4，令r＝2，T3＝C25(－1)21x2，故所求常数项为C45－3×C25＝5－30＝－25，故选C.10．在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中的常数项为()A．6B．9C．12D．18【答案】B【解析】在二项式x＋3xn的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，∴A＝4n，该二项展开式的二项式3系数之和为2n，∴B＝2n，∴4n＋2n＝72，解得n＝3，∴x＋3xn＝x＋3x3的展开式的通项Tr＋1＝Cr3(x)3－r3xr＝3rCr3x3－3r2，令3－3r2＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C13＝9，故选B.11．(x-y)(x+2y+z)6的展开式中,含x2y3z2的项的系数为()A.-30B.120C.240D.420【答案】B【解析】由(x-y)(x+2y+z)6=(x-y)[(x+2y)+z]6,得含z2的项为(x-y)(x+2y)4z2=z2[x(x+2y)4-y(x+2y)4],∵x(x+2y)4-y(x+2y)4中含x2y3的项为xx(2y)3-yx2(2y)2=8x2y3,∴含x2y3z2的项的系数为×8=15×8=120,故选B.12．若a0x2016+a1x2015(1-x)+a2x2014(1-x)2+…+a2016(1-x)2016=1,则a0+a1+a2+…+a2016的值为()A.1B.0C.22016D.22015【答案】C【解析】1=[x+(1-x)]2016=x2016+x2015(1-x)+…+(1-x)2016,∴a0+a1+…+a2016=++…+=22016,故选C.13．在二项式ax2＋1x5的展开式中，若常数项为－10，则a＝________.【答案】－2【解析】ax2＋1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5(ax2)5－r×1xr＝Cr5a5－rx10－5r2，令10－5r2＝0，得r＝4，所以C45a5－4＝－10，解得a＝－2.14．(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为.【答案】-6【解析】∵展开式中x2项为13(2x)0·12(-x)2+12(2x)1·13(-x)1+11(2x)2·14(-x)0,∴所求系数为·+·2··(-1)+·22·=6-24+12=-6.15．若(x－1)5＝a5(x＋1)5＋a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.【答案】31【解析】令x＝－1可得a0＝－32.令x＝0可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－1＋32＝31.16．x＋1x＋25的展开式中x2的系数是________．【答案】1204【解析】在x＋1x＋25的展开式中，含x2的项为2C15x＋1x4,23C35x＋1x2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2C15C14＋23C35C02＝40＋80＝120.17．在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.【答案】120【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为=xr,(1+y)4展开式的通项公式为=yh,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为xryh.∴f(m,n)=.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+++=20+60+36+4=120.18．若x＋12xn(n≥4，n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n＝________.【答案】8【解析】x＋12xn的展开式的通项Tr＋1＝Crnxn－r12xr＝Crn2－rxn－2r，则前三项的系数分别为1，n2，nn－8，由其依次成等差数列，得n＝1＋nn－8，解得n＝8或n＝1(舍去)，故n＝8.19．二项式x－2x6的展开式中，含x2项的系数是________．【答案】60【解析】由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝Cr6x6－r·－2xr＝Cr6x6－2r(－2)r，令6－2r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C26(－2)2＝60.20．x＋ax210展开式中的常数项为180，则a＝________.【答案】±2【解析】x＋ax210展开式的通项为Cr10(x)10－r·ax2r＝arCr10x5－52r，令5－52r＝0，得r＝2，又a2C210＝180，故a＝±2.21．设1x＋x24的展开式中x2的系数为m，则直线y＝m3x与曲线y＝x2所围成的图形的面积为________．【答案】43【解析】1x＋x24的展开式的通项为Tr＋1＝Cr4xr－4·x2r＝Cr4x3r－4，令3r－4＝2，得r＝2，则m＝C24＝6.又直线y＝2x与曲线y＝x2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S＝20(2x－x2)dx＝x2－13x320＝43.,522．已知二项式3x＋1xn的展开式中各项的系数和为256.(1)求n的值；(2)求展开式中的常数项．【答案】(1)8(2)8【解析】(1)由题意得C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝256，∴2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝Cr8(3x)8－r·1xr＝Cr8·x8－4r3，令8－4r3＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C28＝28.23．已知12＋2xn.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【答案】(1)3432(2)16896x10【解析】(1)∵C4n＋C6n＝2C5n，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C37124·23＝352，T5的系数为C47123·24＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C714127·27＝3432.(2)∵C0n＋C1n＋C2n＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设第r＋1项的系数最大，∵12＋2x12＝1212(1＋4x)12，∴Cr124r≥Cr－1124r－1，Cr124r≥Cr＋1124r＋1.∴9.4≤r≤10.4，又r∈N*，∴r＝10.∴展开式中系数最大的项为第11项，T11＝C1012·122·210·x10＝16896x10.