三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作图

回首往事：SSSSAS边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。边角边公理：两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。1.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。即：形状、大小都相同的的两个三角形。2.判断三角形全等有哪些方法？①③②小明不小心将一块三角形玻璃打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃呢？如果可以，带哪块去合适？①②③生活中的数学CBEAD带去了三角形的几个元素？另外两块呢？③先任意画出一个△ABC，再画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，∠A/=∠A，∠B/=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？探究5画法：1、画A/B/＝AB；2、在A/B/的同旁画∠DA/B/=∠A，∠EB/A/=∠B，A/D，B/E交于点C/。通过实验你发现了什么规律？ACBA’B’C’ED已知：任意△ABC，画一个△A/B/C/，使A/B/＝AB，∠A/=∠A，∠B/=∠B：△A/B/C/就是所要画的三角形。有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等。两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等归纳：三角形全等判定3简记为(A.S.A.)或角边角CBAFED符号语言ABCDEFB=E(BC=EF(C=F(ABCDEFA.S.A.在和中已知）已知）已知）（）≌巩固练习：书本P33：4、5如图：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？探究6ABCDEF证明：∵∠A＋∠B＋∠C=180o∠D＋∠E＋∠F=180o∴∠C=∠F又∵∠A=∠D，∠B=∠E在△ABC和△DEF中∠B=∠E∠C=∠FBC=EF∴△ABC≌△DEF（ASA）有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形是否全等？两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。三角形全等判定方法4ABCDEF用符号语言表达为：在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）∠A=∠DBC=EF∠B=∠E(简写成“角角边”或“AAS”）例题讲解例3.如图：已知∠BAD=∠CAD，∠B=∠C。求证：AB=AC证明：在△ABD和△ACD中∠BAD=∠CAD（已知）∠B=∠C（已知）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）ABCD若△ABD不动，将△ACD绕着A点顺时针转动，且转动的角度等于∠CAD的度数，此时图形会怎么样呢？我们一起来看到：变式：已知：AB=AC，∠B=∠C，BE和CD相交于点O求证：AD=AE;证明：在△ADC和△AEB中∠A=∠A（公共角）AC=AB（已知）∠C=∠B（已知）∴△ACD≌△ABE（ASA）∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）DBEAOCBD=CE吗？又∵AB=AC（已知）∴BD=CE课后思考：若将△ADC继续顺时针转动一个角度，图形又怎样？若题中的条件不变，能得到同样的结论吗？两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”（ASA）（AAS）到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是:1、边边边(SSS)3、角边角(ASA)4、角角边(AAS)2、边角边(SAS)练习:==ABECFD已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,求证:ΔABC≌ΔDEF(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；(3)若要以“SSS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；∠ACB=∠DEFAB=DEAB=DE、AC=DF(4)若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；∠A=∠D两个三角形中相等的边或角是否全等（全等画“√”，不全等画“×”公理或推论（简写）三条边两边一角两边夹角两边与一边对角两角一边两角夹边两角与一角对边三个角×√√√√×SSSSASASAAAS小结在几何里,把限定用(没有刻度的)直尺和圆规来画图的,称为尺规作图.•最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。2.作一个角等于已知角。3.作已知角的平分线。4.经过一已知点作已知直线的垂线。5.作已知线段的垂直平分线。•一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.基本作图1、“作一条线段等于已知线段。”已知：线段a．求作：线段AB，使AB＝a．作法与示范：(1)作射线AC；AC(2)以点A为圆心，以a的长为半径画弧，交射线AC于点B，则：AB即所求。Ba(1)作射线AC;AC(2)以点A为圆心,a以a长为半径画弧,交射线AC于点D;D(3)以点D为圆心,以a长为半径画弧,交射线AC于点B;B则：AB即为所求。已知：求作：线段AB,使作法：线段a线段AB=2a练习：求作一条线段AB,使AB=2a.已知：∠AOB。基本作图2、“作一个角等于已知角。”BOA求作：∠A’O’B’使∠A’O’B’=∠AOB。O’A’(2)以点O为圆心，任意长为半径交OA于点C，(3)以点O’为圆心，画弧，CD以(OD)长为半径画弧，C’(4)以点C’为圆心，CD长为半径画弧，D’(5)过点D’作射线O’B’.B’A’O’B’则∠A’O’B’即为所求.作法示范(1)作射线O’A’;交OB于点D交O’A’于点C’交前面的弧于点D’，证明：,由作法可知△C`O`D`≌△COD(SSS),∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等)，即∠A`O`B`=∠AOB。OABCDB`O`A`C`D`1、已知：∠AOB。求作：∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB。BOA作法一:CA’B’∠A’O’B’即为所求.BOA法二:CDC’EB’O’A∠A’O’B’即为所求.练习（1）以O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于C点，交OB于D点；OBAP（3）作射线OP，则：射线OP即为所求.21（2）分别以C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧相交于P点；CD基本作图3平分已知角.A证明：由作图过程知：AB＝AC，BD＝CD又∵AD＝AD∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠BAD＝∠CAD∴AD是∠BAC的平分线CBD1.如图，已知∠A，试画∠B＝1/2∠A.（不写画法，保留作图痕迹）.(第1题)2、试把下图所示的角四等分AOB3.画出图中三角形三个内角的角平分线.（不写画法，保留作图痕迹）（第2题）（1）、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的垂线。（2）、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？基本作图4.经过一已知点作已知直线的垂线BAl1.以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交L于A、B两点.2.分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点D.3.作直线CD.则直线CD即为所求。（1）.如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．作法：C•DBAlC（2）的作法：（1）任取一点M，使点M和点C在直线L的两侧；（2）以C为圆心，以CM长为半径画弧，交L于A、B两点；（3）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于D点；（4）作直线CD.则直线CD就是所求。•M练习：1、如图，过点P画∠O两边的垂线.(第1题)2、如图，画△ABC边BC上的高.（第2题）ABCD基本作图5“作已知线段的垂直平分线.”已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线CD.作法：1、分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧；两弧相交于C、D.2、作直线CD，则直线CD即为所求．什么叫线段的垂直平分线？过线段的中点，垂直这条线段的直线。(也叫中垂线。)线段垂直平分线有哪些特征？线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。练习：A、B是两个村庄，要从灌溉总渠引两条水渠便于灌溉，请你选择最佳方案。灌溉总渠BA五种基本作图(1)作一条线段等于已知线段(2)作一个角等于已知角(3)作一个角的平分线(4)作已知线段的中垂线（5）过一点作已知直线的垂线