3.1.1-两角差的余弦公式

探究点一两角差余弦公式的探索问题1有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举例加以说明．研一研·问题探究、课堂更高效答不正确．例如：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cosπ4＝22，而cosα－cosβ＝cosπ2－cosπ4＝－22，cos(α－β)≠cosα－cosβ；研一研·问题探究、课堂更高效问题2请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝；即：.cos(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ1=cos(45°－45°)32=cos(60°－30°)12=cos(150°－210°)0=cos(30°－120°)研一研·问题探究、课堂更高效探究点二两角差余弦公式的证明如图，在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，β和α-β，它们的终边分别交单位圆于A、B和C点，单位圆与x轴交于D，则:(1)A、B、C、D的坐标分别是多少？(2)线段AB和CD是什么关系？A(cosα，sinα)、B(cosβ，sinβ)、C(cos(α-β)，sin(α-β))、D(1,0)AB=CD证明思路：∵∠AOB=∠COD=α-β且OA=OB=OC=OD=1，∴CODAOB，∴AB=CD，又由于A(cosα，sinα)、B(cosβ，sinβ)、C(cos(α-β)，sin(α-β))、D(1,0)∴(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)化简，得：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ研一研·问题探究、课堂更高效探究点三两角差余弦公式的应用根据两角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ解答下列问题，体验公式的正向、逆向应用的灵活选择．问题1写出下列式子的化简结果：(1)cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝；(2)sinαsin(α＋β)＋cosαcos(α＋β)＝；(3)sin57°cos63°＋cos57°sin63°＝.12cosβ32研一研·问题探究、课堂更高效问题2利用公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，证明下列诱导公式：(1)cos(π－x)＝－cosx；(2)cos32π－x＝－sinx.证明(1)cos(π－x)＝cosπcosx＋sinπsinx＝(－1)×cosx＋0×sinx＝－cosx；(2)cos32π－x＝cos32πcosx＋sin32πsinx＝0×cosx＋(－1)×sinx＝－sinx.研一研·问题探究、课堂更高效【典型例题】例1求下列三角函数式的值．(1)sinπ12；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；解(1)原式＝cosπ2－π12＝cos512π＝cosπ4＋π6＝cosπ4－－π6＝cosπ4cosπ6－sinπ4sinπ6＝6－24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.研一研·问题探究、课堂更高效小结在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求cos105°＋sin195°的值．解cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)＝2－22×32＋22×12＝2－62.研一研·问题探究、课堂更高效例2已知α，β均为锐角，sinα＝817，cos(α－β)＝2129，求cosβ的值．解因为α、β∈0，π2，sinα＝81712，所以0απ6，所以α－β∈－π2，π6，因为cos(α－β)＝212932，所以－π2α－β－π6，所以cosα＝1－sin2α＝1－8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－1－21292＝－2029，研一研·问题探究、课堂更高效所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝1517×2129＋817×－2029＝155493.小结三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2.解∵α∈π2，π，β∈0，π2，∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝1－181＝459，cosα2－β＝1－sin2α2－β＝1－49＝53.研一研·问题探究、课堂更高效∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527.研一研·问题探究、课堂更高效例3已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈0，π2，求β的值．解∵α、β∈0，π2且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈0，π2，∴β＝π3.研一研·问题探究、课堂更高效小结(1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，求角β的值．解由α－β∈π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513，由α＋β∈3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)研一研·问题探究、课堂更高效＝1213×－1213＋－513×513＝－1.又∵α＋β∈3π2，2π，α－β∈π2，π，∴2β∈π2，3π2.∴2β＝π，则β＝π2.1．设α∈0，π2，若sinα＝35，则2cosα－π4等于()A.75B.15C.－75D.－15练一练·当堂检测、目标达成落实处解析2cosα－π4＝2cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝cosα＋sinα＝45＋35＝75.A练一练·当堂检测、目标达成落实处2．cos15°＋sin15°＝________.解析cos15°＋sin15°＝2(cos15°cos45°＋sin15°sin45°)＝2cos(45°－15°)＝2cos30°＝62.62练一练·当堂检测、目标达成落实处3．已知sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝45，求cos(α－β)的值．解∵(sinα＋sinβ)2＝352，(cosα＋cosβ)2＝452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝－12.练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知锐角α、β满足cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ.解∵α为锐角，且cosα＝45，∴sinα＝35.又∵0απ2，0βπ2，∴－π2α－βπ2.又∵tan(α－β)＝－130，∴cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×310＋35×－110＝91050.1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.练一练·当堂检测、目标达成落实处