《线性代数》课程标准

课程标准课程名称：线性代数适用专业：经济、管理类新疆财经大学应用数学学院基础数学教研室2目录第一部分课程性质……………………………3第二部分课程目标……………………………3第三部分教学内容与基本要求……………………………3第四部分教学方案……………………………8第五部分课程作业与考核评价……………………………9第六部分教材与教学参考书……………………………103第一部分课程性质一、课程性质线性代数是高等院校经济类、管理类专业的一门重要的基础课，是为培养适应四个现代化需要的本科层次的经济、管理类专业人员而设的一门必修课，通过该课程的学习，不仅使学生了解有关线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本计算方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理能力，而且使学生会应用线性代数知识分析、解决实际问题，并为后续课程作好必要的准备。二、课程基本情况课程名称：线性代数适用专业：财经。管理类各专业总学时数：54学时修课方式：必修三、课程说明本课程共六章，由于我校线性代数课实行普通班与快班分级教学，根据教学计划（每周3课时），因此，第一至四章为必学内容，主要掌握矩阵、线性方程组理论、n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量及其有关的基本知识，第五章为快班必学内容，普通班为选学内容，第六章为普通班和快班选学内容。第二部分课程目标通过本课程的教学，使学生系统地掌握矩阵及线性方程组理论，n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量，二次型理论知识，并能解决一些实际问题，培养学生独特的代数思维模式及逻辑推理能力，并为进一步学习后继课程和现代化科学技术打下坚实的数学基础。第三部分教学内容与基本要求第一章行列式（8学时）【教学内容】§1.1阶行列式的定义4二、三阶行列式的定义、排列的逆序数、n阶行列式的定义。§1.2行列式的性质行列式的性质§1.3行列式的展开定理余子式和代数余子式的概念、行列式按行(列)展开定理。§1.4行列式的计算§1.5克莱姆法则克莱姆法则。【基本要求】1、了解排列与逆序的概念。2、理解n阶行列式的定义、性质。3、掌握按一行（列）展开的定理。4、熟练掌握用行列式的定义、性质和有关定理计算较简单的n阶行列式的方法。5、掌握克莱姆法则。6、本章内容对普通班的学生只要求掌握基本知识和基本技能，而对于快班的学生不仅要掌握基本知识和基本技能，还要求有一定的综合知识的应用能力。第二章矩阵（12学时）【教学内容】§2.1矩阵的概念矩阵的定义与运算矩阵的加法和数与矩阵的乘法，矩阵的乘法及其性质，矩阵的转置与方阵的幂。§2.2几种特殊的矩阵数量矩阵、单位矩阵、三角形矩阵、对称矩阵的定义及性质。§2.3可逆矩阵可逆矩阵和逆矩阵的定义；可逆矩阵的判定；伴随矩阵与逆矩阵的关系；逆矩阵的性质。§2.4分块矩阵矩阵的分块及运算；对角分块矩阵、三角形分块矩阵。分块矩阵的逆。5§2.5初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵的定义；初等矩阵与初等变换的关系；初等变换求矩阵的逆。§2.6矩阵的秩矩阵秩的定义及初等变换求矩阵的秩。【基本要求】1、理解矩阵概念，熟练掌握矩阵的加、减、数乘、乘法和转置等的运算，了解经济背景。熟练掌握矩阵行列式的有关性质。2、掌握五种特殊矩阵及其特殊性质。3、了解分块矩阵分块的原则，熟练掌握分块矩阵的运算法则。4、理解逆矩阵的概念及其性质，会用伴随矩阵法求矩阵的逆。5、熟练掌握矩阵的初等变换以及用初等变换的方法求矩阵的逆。6、了解初等矩阵的概念，以及它们与初等变换的关系。。7、理解矩阵秩的定义，会用定义求矩阵的秩，掌握用初等变换求秩的方法。8、本章内容对于普通班的学生只要求掌握基本知识和基本技能，而对于快班的学生不仅要掌握基本知识和基本技能，还要求有一定的综合知识的应用能力。第三章向量与线性方程组（14学时）【教学内容】§3.1解线性方程组解的存在性线性方程组的一般形式及其矩阵表示（系数矩阵、常数矩阵、未知量矩阵、增广矩阵）；消元解法（消元及回代）与增广矩阵初等行变换的对应关系；方程组的同解性。线性方程组无解、有唯一解或无穷多解的讨论及有解的充分必要条件；齐次线性方程组仅有零解、有非零解的充分必要条件。§3.2向量组的线性相关性线性组合；线性相关与线性无关的定义、性质及判定；关于线性组合与线性相关的定理；向量组的极大线性无关组和向量组的秩，矩阵的行秩、列秩与秩的定义及相互关系。§3.3向来量组的秩向量组的极大线性无关组，矩阵的秩与向量组的秩的关系。§3.4向量空间6n维向量的定义；向量的线性运算及运算律。§3.5线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构及其定理，基础解系的概念及其求法；非齐次线性方程组解的结构及其定理，一般解与导出组的基础解系之间的关系，一般解的求法。【基本要求】1、掌握线性方程组有解的判别定理。熟练掌握利用矩阵的初等变换求线性方程组一般解的方法（消元解法）。2、理解向量的概念；熟练掌握向量的线性运算。3、理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关等概念及其性质，并会加以判断。4、理解极大无关组、向量组的秩和矩阵的秩等概念。掌握求向量组的极大无关组和矩阵的秩的方法。5、了解线性方程组的特解、导出租的基础解系和一般解的概念。掌握齐次线性方程组基础解系的求法。会用特解和导出租的基础解系表示线性方程组的全部解。6、以上内容对于普通班的学生只要求掌握基本知识和基本技能，而对于快班的学员不仅要掌握基本知识和基本技能，还要求有一定的综合知识的应用能力。第四章矩阵的相似对角化（10学时）【教学内容】§4.1矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的定义；特征矩阵、特征多项式；求特征值与特征向量的方法及有关性质。§4.2矩阵的相似对角化相似矩阵的概念、相似矩阵的性质，矩阵可对角化条件及约当形矩阵的概念。§4.3向量的内积和正交矩阵向量内积、正交向量组的定义；施密特正交化方法；正交矩阵的定义及其性质。§4.4实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。【基本要求】71、了解矩阵的特征值、特征向量、特征矩阵、特征多项式、特征方程等概念；掌握特征值和特征向量的性质；熟练掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法。2、了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充要条件，知道约当形矩阵的概念及简单结论。3、掌握实对称矩阵关于特征值和特征向量的性质。4、熟练掌握实对称矩阵及跟一般的可对角化矩阵对角化方法，特别要求掌握施密特正交化法。5、本章内容对于普通班的学生只要求掌握基本知识和基本技能，而对于快班的学生不仅要掌握基本知识和基本技能，还要求有一定的综合知识的应用能力。第五章二次型（10学时）【教学内容】§5.1二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵形式；非退化线性替换；合同矩阵的概念及其性质§5.2化二次型为标准形基本定理；正交线性替换法化二次型为标准形；配方法化二次型为标准形；初等变换化二次型为标准形；二次型的正负惯性指标和秩的概念及其定理。§5.3化二次型为规范形初等变换法化二次型为规范形二次型及其矩阵的有定性概念。§5.4正定二次型和正定矩阵正定矩阵的性质及结论，用顺序主子式判定二次型的正、负定性。【基本要求】1、了解二次型的定义；掌握二次型的矩阵表示方法2、会用配方法化二次型为标准形；掌握初等变换化二次型为标准形的方法；会用正交线性替换法化二次型为标准形。3、了解正二次型，正矩阵的定义和有关性质；掌握用顺序主子式判定二次型及其矩阵的正定和负定性的方法。4、本章内容对普通班学生不做要求，而对于快班学生要掌握本章基本知识和基本技能。8第六章投入产出数学模型（4学时）【教学内容】§6.1投入产出平衡方程组投入产出平衡表、平衡方程组§6.2直接消耗系数直接消耗系数、平衡方程组得矩阵表示§6.3解平衡方程组解消耗平衡方程组、解分配平衡方程组§6.4完全消耗系数【基本要求】1、了解投入产出表的结构，正确理解投入、产出、中间产品、最终产品、总产品等概念。2、正确理解直接消耗系数、完全消耗系数的概念，并熟练掌握它们的计算方法，了解它们的经济意义，它们之间的关系及其性质。3、掌握投入产出模型的两类平衡方程组的表示形式和它们的求解方法。4、本章为普通班、快班选学内容。第四部分教学方案一、教学方法与手段本课程以培养学生独特的代数思维模式以及严谨的逻辑推理能力为目的。因此，在教学中，要充分发挥学生的主观能动性，积极启发、诱导学生的代数思维能力，同时在条件容许的前提下，部分章节最好采用多媒体技术教学，以便获取最佳的教学效果。二、课时计划安排日期①周次②课次③计划教学内容教学内容提要（章节）④实验与教学时数⑤备注⑥1§1.1行列式的定义§1.2行列式的性质2课时2§1.3行列式的展开定理2课时3§1.4行列式的计算2课时4§1.5克莱姆法则2课时5§2.1矩阵的的定义与运算2课时96§2.2几种特殊的矩阵2课时7§2.3可逆矩阵2课时8§2.4矩阵的分块2课时9§2.5初等变换与初等矩阵2课时10§2.6矩阵的秩2课时11§3.1线性方程组解的存在性2课时12§3.2向量组的线性相关性（一）2课时13§3.2向量组的线性相关性（二）2课时14§3.3向量组的秩2课时15§3.4向量空间2课时16§3.5线性方程组解的结构（一）2课时17§3.5线性方程组解的结构（二）2课时18§4.1特征值和特征向量（一）2课时19§4.1特征值和特征向量（二）2课时20§4.2矩阵的相似对角化2课时21§4.3实向量的内积和正交矩阵2课时22§4.4实对称矩阵的相似对角化2课时23§5.1二次型及其矩阵表示2课时24§5.2化二次型为标准形2课时25§5.3化二次型为规范形2课时26§5.4正定二次形和正定矩阵（一）2课时27§5.4正定二次形和正定矩阵（二）2课时§6.1投入产出平衡方程组§6.2直接消耗系数2课时§6.3解平衡方程组§6.4完全消耗系数2课时第五部分课程作业与考核评价一、课程作业根据学院教务处的安排，本课程每周3课时，因此，为使学生能够掌握线性代数的基本知识与方法，每次课后两种作业（一种是批改作业，一种是定期抽查作业）布置各不得低于5至10题，学期作业总量不少于300题。二、考核评价评价的目的是全面考察学生的学习情况，激励学生的学习热情，促使学生全面发展。评价也是教师反思和改进教学的有力手段。对学生学习数学的评价，既要关注学生学习数学的结果，又要关注他们在学习过程中的变化和发展。要将过程评价和结果评价相结合，定性与定量10相结合。由于为考试课，因此，本课程的考核评价结果是以定量的方式呈现：平时成绩（听课、作业的综合）占10%，期中考试成绩占20%，期末考试成绩占70%。三、学期试卷结构与说明1、试卷总分：100分2、考试时间：120分钟3、试卷内容比例：普通班快班行列式约20%约20%矩阵约30%约25%线性方程组约30%约30%矩阵的特征值约20%约15%二次型0%约10%4、试卷题型比例：单项选择题约20%约20%填空题约20%约20%计算题约54%约50%证明题约6%约10%5、试题难易比例：较容易题约40%约40%中等难度题约50%约40%较难题约10%约20%第六部分教材与教学参考书一、教材：经济应用数学《线性代数》陈建华、石瑞民、陈善我编著，高等教育出版社出版（2004年1月第一版）。二、教学参考书：1.《工程教学线性代数》上海交通大学数学教研室编。2.《线性代数》武汉大学数学系数学专业。113.《线性代数》同济大学数学教研室编，高等教育出版社。4.《线性代数原理及解题含600个问题及解答》，晓园出版社世界图书出版社。5.《通俗线性代数》于明刚，徐善从编著，山东出版社。6.《应用线性代数》范蓓芬编著，气象出版社。7.《线性代数内容方法与小结》陈典铠编著，航空工业出版社。8《线性代数基础》中国金融出版社。