专题20--正方形--拔高题

ABCDEFGO专题20正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l】如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G.下列结论：①05.112AGD；②2AEAD；③OGDAGDSS；④四边形AEFG是菱形；⑤OGBE2.其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上)(BCCG，取线段AE的中点M.连MD，MF．（1）探究线段MD，MF的关系，并加以证明．（2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角后（如图2），其他条件不变．探究线段MD，MF的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由M为AE中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．图2图1MFEGMFGABDCECDBA【例3】如图，正方形ABCD中，E，F是AB，BC边上两点，且FCAEEF，EFDG于G，求证：DADG.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造FCAE的线段是解本例的关键．GFBCADE【例4】如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定HAF的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测HAF的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，满足DFBEEF，AFAE,分别与对角线BD交于点NM,．求证：（1）045EAF；（2）222DNBMMN．（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．MNEBCDAFABCDEFGHP【例6】已知：正方形ABCD中，045MAN，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点NM,．当MAN绕点A旋转到DNBM时（如图1），易证MNDNBM．（1）当MAN绕点A旋转到DNBM时（如图2），线段DNBM,和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段DNBM,和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造BMDN是解题的关键．能力训练A级1.如图，若四边形ABCD是正方形，CDE是等边三角形，则EAB的度数为__________.（北京市竞赛试题）2.四边形ABCD的对角线BDAC、相交于点O，给出以下题设条件：①DACDBCAB；②BDACDOCOBOAO,；③BDACDOBOCOAO,,；④DACDBCAB,．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）ABCDMN图3ABCDMN图2ABCDMN图13．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）BCDAE第1题图第3题图第4题图4.如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转至能与'CBP重合，若3PB，则'PP=__________.（河南省中考试题）5.将n个边长都为cm1的正方形按如图所示摆放，点nAAA,,21分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()A.241cmB．24cmnC.241cmnD.2)41(cmn（晋江市中考试题）A5A3A4A2A1OBFECA第5题图第6题图6.如图，以BCARt的斜边BC为一边在BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果26,4AOAB，则AC的长为()A.12B．8C.34D.28（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形ABCD中，035,MCEMNCE，那么ANM是()A.045B．055C.065D.075ABCDPPABCDCDA8．如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，CEFRt的面积为200，则BE的值是()A．15B．12C．11D．10第8题图第7题图ABMBCDACDEFNE9．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，BD与CE交于F点，求证：BEAF．FEBCDA10.如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD上的一点，且ADAF41．求证：CE平分BCF．BCADEF11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，FEBCPFDCPE,,,分别是垂足．求证：EFAP．（扬州市中考试题）FEBCADP12.（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形)(BCCGCGEF，GCB,,在同一条直线上，M为线段AE的中点．探究：线段MFMD,的关系．（2）如图2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转045，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1图2B级1.如图，在四边形ABCD中，090,ABCADCDCAD，ABDE于E，若四边形ABCD的面积为8，则DE的长为__________.2.如图，M是边长为1的正方形ABCD内一点，若02290,21CMDMBMA，则MCD__________.（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图OCBEBCAEBDADMFAC3.如图，在ABCRt中，3,900ACC，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且24OC，则BC的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）ABCDEFGMABCDEFGM4.如图：边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于M，过M作AQMN交BC于N点，作BDNP于点P，连接NQ，下列结论：①MNAM；②BDMP21；③NQDQBN；④BMBNAB为定值，其中一定成立的是()A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④5.如图，ABCD是正方形，ACBF//，AEFC是菱形，则ACF与F度数的比值是()A.3B．4C.5D.不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()A.58B．527C.8D.65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图QBCFABPNMBCDACDDAQEP7.如图，正方形ABCD中，8AB，Q是CD的中点，设DAQ，在CD上取一点P，使2BAP，则CP的长度等于()A.1B．2C.3D.3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，DMMN且交CBE平分线于N（如图1）（1）求证：MNMD；（2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）E图3图2图1NNABNMABABDCCDEDCEMM`9.已知,10,10ba求证：22)1()1()1()1(22222222babababa．10.如果，点NM,分别在正方形ABCD的边CDBC,上，已知MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求MAN的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）ABDCMN11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH，对角线CGAE,分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：CGAE，且CGAE．（北京市竞赛试题）CBAHGFED12.如图，正方形MNBC内有一点A，以ACAB,为边向ABC外作正方形ABRT和正方形ACPQ，连接BPRM,．求证：RMBP//．（武汉市竞赛试题）MNPQTBCAR