导数的概念及运算一轮复习课件

第10讲导数的概念及运算泰安二中数学2020年5月28日星期四1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率_______________＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝________________.课前自主导学(2)几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的__________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________________．f′(x)与f′(x0)有何不同？(1)函数y＝x3－2x在点(2,4)处的切线的斜率为________．(2)函数f(x)＝lnx的图象在点(e，f(e))处的切线方程y＝__________.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝____f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝____(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝________(1)若y＝x，则y′＝________；y＝1x2，则y′＝________；y＝log3x，则y′＝________.(2)已知f(x)＝xm，若f′(－1)＝－4，则m＝________.3．导数的运算法则若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)·g(x)]′＝____________；(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．(1)y＝(x2－1)(3x＋2)，则y′＝________；(2)若f(x)＝xex，则f′(1)＝________；(3)y＝xsinx，则y′＝__________.4．复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．(1)y＝2x的导数y′＝________.(2)y＝ln(1－x)的导数y′＝________.(3)y＝e－2x的导数是y′＝________.(4)y＝cos(2x－π6)的导数是y′＝__________.第12页金版教程·高三数学第二章第10讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．第13页金版教程·高三数学第二章第10讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.第14页金版教程·高三数学第二章第10讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学1个重要区别求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．第15页金版教程·高三数学第二章第10讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学2项必须防范1.利用公式求导时要特别注意，除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2.含有字母参数的函数求导时，要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.第16页金版教程·高三数学第二章第10讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学3种必会方法1.连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导．2.根式形式：先化为分数指数幂、再求导．3.复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.例1用导数的定义求函数y＝1x在x＝1处的导数．[审题视点]先求Δy，再求ΔyΔx，最后求limΔx→0ΔyΔx.核心要点研究[解]记f(x)＝1x，则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝1－1＋Δx1＋1＋Δx1＋Δx1＋1＋Δx＝－Δx1＋Δx1＋1＋Δx，ΔyΔx＝－11＋Δx1＋1＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx1＋1＋Δx＝－12.根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的方法是(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)计算导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.[变式探究]若函数y＝f(x)在x＝a处的导数为A，则limΔx→0fa＋Δx－fa－ΔxΔx为()A．AB．2AC.A2D．0答案：B解析：由于Δy＝f(a＋Δx)－f(a－Δx)，其改变量对应2Δx，∴limΔx→0fa＋Δx－fa－ΔxΔx＝2limΔx→0fa＋Δx－fa－Δx2Δx＝2f′(a)＝2A，故选B.例2求下列函数的导数(1)y＝2xlnx；(2)y＝excosx；(3)y＝1－xx＋lnx；(4)y＝sinxx3＋1.[审题视点]本题考查导数的有关计算，借助于导数的公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得．[解](1)y′＝2xln2lnx＋1x·2x＝2x(ln2lnx＋1x)(2)y′＝(excosx)′＝excosx－exsinx.(3)y′＝(1－xx＋lnx)′＝(1x－1＋lnx)′＝－1x2＋1x.(4)y′＝(sinxx3＋1)′＝sinx′x3＋1－sinxx3＋1′x3＋12＝cosxx3＋1－3x2sinxx3＋12.(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，预防犯运算错误．[变式探究]求下列函数的导数．(1)y＝exlnx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝x＋x5＋sinxx2；(4)y＝11－x＋11＋x.解：(1)y′＝exlnx＋ex·1x＝ex(1x＋lnx)．(2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.(3)∵y＝x12＋x5＋sinxx2＝x－32＋x3＋sinxx2，∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－32x－52＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.(4)y＝1＋x＋1－x1－x1＋x＝21－x，∴y′＝(21－x)′＝0－21－x′1－x2＝21－x2.例3[2012·课标全国高考]曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[审题视点]对函数f(x)求导得f′(x)，f′(1)为对应切线的斜率，由点斜式得到切线方程．[解析]因为y′＝3lnx＋4，故y′|x＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，化为一般式方程为4x－y－3＝0.[答案]4x－y－3＝0奇思妙想：本例条件不变，问题改为：求切线方程与直线x＝0和y＝x围成的三角形的面积，该如何解答？解：切线方程4x－y－3＝0与y＝x的交点坐标为(1,1)，结合图象可知S△＝12×3×1＝32.利用导数研究曲线的切线问题，一定要注意以下规律：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．[变式探究][2013·河北质检]已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是()A．eB．－eC.1eD．－1e答案：C解析：依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点(x0，kx0)，则有kx0＝lnx0k＝1x0，由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝1e，选C.【选题·热考秀】[2013·杭州模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于()A．－1或－2564B．－1或214C．－74或－2564D．－74或7课课精彩无限[答案]A[规范解答]设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝32，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－2564，当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－1，所以选A.【备考·角度说】No.1角度关键词：易错分析在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，不知所措，无法与导数的几何意义联系．No.2角度关键词：备考建议解决与导数的几何意义有关的问题时，要注意以下几点：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解的关键．(2)正确区别“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的含义，前者是指该点为切点，不要搞混．(3)求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.1.[2013·豫南四校调研]已知曲线y1＝2－1x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为()A．－2B．2C.12D．1经典演练提能答案：D解析：由题知y′1＝1x2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为1x20，3x20－2x0＋2，所以3x20－2x0＋2x20＝3，所以x0＝1.2．[2011·江西高考]若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)答案：C解析：f′(x)＝2x－2－4x＝2x－2x＋1x0.∵x0，∴x2.3．[精选题]曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D．1答案：A解析：∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.如图，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为(23，23)，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，图中阴影部分的面积即为所求的面积，∴S＝12×1×23＝13.4．[2012·广东高考]曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．答案：2x－y＋1＝0解析：y′＝3x2－1，∴k＝2，∴y－3＝2(x－1)，2x－y＋1＝0.5．已知：f(x)＝x2＋2f′(1)x，若f(x)0，则x的取值范围________．答案：(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f(x)＝x2－4x，∴f(x)0即x2－4x0，∴x4或x0.