初等数学研究第二章不等式的解法课件

第2章式与不等式讲授内容：1.解析式的基本概念；2.不等式的有关概念和性质；3.不等式（组）的解法；4.不等式的证明；5.几个著名的不等式；(均值、柯西、排序、Jensen)6.不等式的应用.解析式1.字母代表数;2.式本身是代表数的符号，也表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号.运算不同对解析式进行分类第一节基本概念第一节基本概念运算1.代数运算（开方）运算、指数为有理数的乘方、、、2.超越运算指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算代数式超越式恒等式两个解析式f和g对于它们公共定义域的某个子集内的一切值都有相同的取值，记作f≡g，通常在不引起混淆的情况下也记作f=g.第一节基本概念恒等变换一个解析式转换成另一个与它恒等的解析式，这种变换称为恒等变换.2131xxx22()()ababab第一节基本概念恒等变换是代数式运算的重要依据第五节不等式1、不等式及其基本概念定义1用不等号联结两个解析式所成的式子，称为不等式。①按不等号分类非严不等式、、严不等式②按解析式分类代数不等式超越不等式第五节不等式定义2用不等号联结的两个解析式定义域的交集，称为不等式的定义域。③按不等式解集与其定义域的关系分类绝对不等式定义域真子集条件不等式矛盾不等式空集第五节不等式二、不等式基本性质;)1(abba对称性：;,)2(cacbba传递性：;)3(cbcaba加法单调性：.0,;0,)4(bcaccbabcaccba乘法单调性：第五节不等式由基本性质得到的推论：;00,0bdacdcba推论1;0,0cbdadcba推论2);(0Nnbabann推论3).(0Nnbabann推论4第五节不等式同解变形(分式不等式)0)()(xgxf0)()(xgxf0)()(xgxf.0)(0)()(xgxgxf且第五节不等式)0(0...)(0111或axaxaxaxFnnnn时，当0,2nan一般采用“零点分区穿线法”求解1）把F(x)因式分解；2)在数轴上依次标出零点；3）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿”原则进行穿线。第五节不等式0)9)(7)(1()1(12xxxx、解下列不等式：12321022xxxx、同解变形（绝对值不等式）.x|a||x|)0(,||;)0(,||22aaxaxaaxaxaaax；或第五节不等式)()()(0)(),(|)(|xgxfxgxgxgxf)(-)()()(0)(),(|)(|xgxfxgxfxgxgxf或22)()(|)(||)(|xgxfxgxf例题5解不等式：4||1||3||xx第五节不等式第五节不等式例题4解不等式：2|3||2||1|xxx含多个绝对值的不等式，一般采取零点分段去绝对值进行求解。第五节不等式例题6解不等式：为参数。其中axax,2|||||a|最小距离时，不等式无解；）当分类讨论：2|a|10).2a-2,2a2(-2|a|)20时，解集为当4|3-x||1-x|2|x||1x|思考：第五节不等式解绝对值不等式小结1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一元高次不等式（组），进行求解。A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般采用零点分段法。都是实数。、、、其中dcbamcxbxaxeg,|d-x||||||:|第五节不等式形结合的方法求解。为正常数，一般采用数其中、形如mm),m(|b-x||a-x|B第五节不等式同解变形同解。与，的定义域为)()()()()()())((DM)()(xxgxxfxgxfMxxgxf定理2同解。与，的定义域为)()()()()()(0)(,))((DM)()(xxgxxfxgxfxMxxgxf定理3同解。与，的定义域为)()()()()()(0)(,))((DM)()(xxgxxfxgxfxMxxgxf定理3第五节不等式的解。都有的任意解证对；都有的任意解证对)()(,)()()()(2)()()()(,)()(100bgbfbxxgxxfaagaafaxgxf证明思路：第五节不等式同解变形（无理不等式）.0)(,0)();()(,0)(,0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf.0)(,0)();()(,0)(,0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf)()(,0)(,0)(2xgxfxgxf第五节不等式)()(,0)(,0)(2xgxfxgxf)()(xgxf同解变形（无理不等式）)()(xgxf第五节不等式思维训练;02)1(12xxx、]22,0()32,22[3)35,(2},1{),2(1、、、答案：16522xxx、12132xx、的取值范围是（）。则实数，的解集为、不等式aa|2x||3-x|1作业：84页，第34题温故而知新1、绝对值不等式2、无理不等式同解变形第五节不等式1、解绝对值不等式小结1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一元高次不等式（组），进行求解。A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般采用零点分段法。都是实数。、、、其中dcbamcxbxaxeg,|d-x||||||:|第五节不等式形结合的方法求解。为正常数，一般采用数其中、形如mm),m(|b-x||a-x|B第五节不等式2、无理不等式的同解变形.0)(,0)();()(,0)(,0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf.0)(,0)();()(,0)(,0)(2xgxfxgxfxgxf或)()(xgxf)()(,0)(,0)(2xgxfxgxf第五节不等式)()(,0)(,0)(2xgxfxgxf)()(xgxf)()(xgxf2、无理不等式的同解变形第五节不等式1、指数、对数不等式的解法212113xx）1)2(loglog)2212xx113xx]1,0(]3,(答案：.0202,0xxxx)4,2(答案：第五节不等式方法一（指数、对数不等式）①同底法：不等式两边化为同底，再利用指数、对数函数的单调性进行同解变形。)()(;0)(;0)()(log)(log);()(1)1)()(xgxfxgxfxgxfxgxfaaaaaxgxf时，第五节不等式).()(;0)(;0)()(log)(log);()(10)2)()(xgxfxgxfxgxfxgxfaaaaaxgxf时，当第五节不等式巩固与提高），（：例题1,0192-3212322xxxxxxxx），（解题思路：1,046212322xxxxxxxx.4621231;462123102222xxxxxxxxxx时，同解于当时，同解于当），答案：（,1()5192-0第五节不等式思维训练.0228)2;03loglog)122xxaaxx解题思路：（换元法）;032,log2yyyxa则有令),1(010)2);,(101)1:33aaaaaa），时，不等式的解集为（当），时，不等式的解集为（当答案方法二（指数、对数不等式）②换元法：0)(log,0)(xfafax形如巩固与提高2)22(log)122(log:1012124xxx例题2)22(log)122(log2112122xxx2]1)12()[log12(log22xx;2)1(,)12(log2yyyx则令作业)]2(1[log)1(log2)2xaxaa1)(log)12xx0228)3xx温故而知新指数不等式、对数不等式的解法①同底法②换元法第五节不等式三角不等式的解法.2)414cos()414cos(),2,0(111xnxnnx解不等式为正整数，）、设（例题解题思路：利用和差化积公式同解变形为)(2)4cos(cos2xn22)4cos()(10xn式化为为偶数时，当第五节不等式22)4cos()(10xn式化为为偶数时，当223)2,0(,24442xxkxk又因为22)4cos()(20xn式化为为奇数时，当x2回顾和差化积公式：第五节不等式|cos||sin|2xx、法一：不等式两边平方，得21sin01sin2cossin2222xxxx02cosx法二：},434|{Zkkxkx答案：回顾二倍角公式：第五节不等式)1arcsin(arcsin123xx）（例解题思路：的单调性进行求解利用xyarcsinxxxx1,111,11反三角函数：第五节不等式三角不等式解法总结利用三角函数的恒等变形、单调性、数形结合求解和差化积、积化和差、两角和差公式、二倍角公式、诱导公式、万能公式第五节不等式零点分区穿线法的推广0)2|(|)1(ln1xxx、解:;0)(1010xfx时，当;0)(2120xfx时，当;0)(230xfx时，当。。。012综上所述，原不等式的解集为).,2(），，则定义域为（令0),2|)(|1(ln)(xxxxf第五节不等式零点分区穿线法的推广1)把不等式所有项一到一边，令其为函数f(x)；2)确定f(x)的定义域；3)解f(x)=0,得出零点；4)判断f(x)在各区间上的正负；5)确定解集.第五节不等式为锐角。解不等式：例题xxxx,cot33sin2cos2)14(2)2,0(,cot33sin2cos2)(xxxxxxf为锐角，所以由于解题思路：令0)sin32)(sin(cosxxx。。。。0423-+-第五节不等式.1322)1(logxaxxxa的不等式）解关于（例题第五节不等式作业41)2sin(sin1、)1arccos()21arccos(2xx、)2,0(,2sincos22sin223xxxx其中、不等式的证明1、比较法2、综合法（由因导果）3、分析法（由果寻因）放缩法、反证法、换元法、数学归纳法、构造法第五节不等式第五节不等式比较法.000babababababa1）作差比较法2）作商比较法.111,0,0bababababababa则若第五节不等式思维训练.)(,122224442cbacbaacbcba求证：均为正数，且、、、已知法一：（作差法）])([2222)(222222222222222444accabbcacbacbacba证明：acb2][2])([2])([222222222222cacaacaccaacaccab第五节不等式0,222baacca、又0)(222accaac成立。时均为正数，且、、当22224442)(,cbacbaacbcba法二：（分析法）422224224444