湖南湖北四校2020届高三学情调研联考理科数学试题卷(含解析)

理科数学试卷第1页(共6页)绝密★启用前【考试时间：2020年4月24日下午15∶00～17∶00】湖南湖北四校2020届高三学情调研联考理科数学试题卷本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟。考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝考试顺利!一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合|04PxRx，|3QxRx，则PQA．3,4B．3,4C．,4D．3,2．x，y互为共轭复数，且ixyiyx6432则yx=A．B．1C．22D．3．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取31.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为A．20B．27C．54D．64理科数学试卷第2页(共6页)4．如图，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在线段𝐵𝐶上，且𝐵𝐷=3𝐷𝐶，若𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝜇𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑，则𝜆𝜇=A．B．C．D．25．已知定义在R上的函数()21xmfx(m为实数)为偶函数，记0.52(log3),(log5),(2)afbfcfm则,,abc的大小关系为A．abcB．cbaC．cabD．acb6．如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为A.23B.6C.22D.27．已知双曲线2222:10,0xyCabab的左,右焦点分别为12,0,,0FcFc,又点23,2bNca.若双曲线C左支上的任意一点M均满足24MFMNb,则双曲线C的离心率的取值范围为A.13,53B.131,5,3UC.1,513,UD.5,138．已知在关于,xy的不等式组0{010xyaxyy，（其中0a）所表示的平面区域内，存在点00,Pxy，满足2200331xy，则实数a的取值范围是A．3,B．,26C．26,D．62,理科数学试卷第3页(共6页)9．已知ABC△的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3coscos5aBbAc，则tanAB的最大值为A.32B.32C.34D.310．已知函数22π()2sincossin024rfxxx在区间2π5π,36上是增函数，且在区间0,π上恰好取得一次最大值1，则w的取值范围是A.30,5B.13,25C.13,24D.15,2211．已知抛物线2:4Cyx和直线:10lxyF,是抛物口回线C的焦点，P是直线l上一点过点P作抛物线C的一条切线与y轴交于点Q，则PQF△外接圆面积的最小值为A．π2B．2π2C．2πD．2π12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架（不考虑焊接处的长度损失），则此三棱锥体积的取值范围是A.83(0,]27B.23(0,]3C.3(0,]3D.163(0,]27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知二项式61xax的展开式中的常数项为－160，则a＝________．14．观察分析下表中的数据：多面体面积（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812理科数学试卷第4页(共6页)猜想一般凸多面体中,,FVE所满足的等式是________.15．设函数()e1xfxx，函数gxmx，若对于任意的12,2x，总存在21,2x，使得12fxgx，则实数m的取值范围是________.16．ABC△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin:sin:sinln2:ln4:lnABCt，且2•CACBmc，有下列结论：①28t；②229m；③4t，ln2a时，ABC△面积为215ln28；④当528t时，ABC△为钝角三角形.其中正确的是________________（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．已知数列,nnab满足：1121141nnnnnbaabba，，.（1）证明：11nb是等差数列，并求数列nb的通项公式；（2）设1223341...nnnSaaaaaaaa，求实数a为何值时4nnaSb恒成立18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝12.已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′－EF－B的大小是60°.连接C′B，C′A，如图：（1）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；的理科数学试卷第5页(共6页)（2）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．19．20．如图，设抛物线21:4(0)Cymxm的准线l与x轴交于椭圆22222:1(0)xyCabab的右焦点21,FF为2C的左焦点.椭圆的离心率为12e，抛物线1C与椭圆2C交于x轴上方一点P，连接1PF并延长其交1C于点Q，M为1C上一动点，且在,PQ之间移动.（1）当32ab取最小值时，求1C和2C的方程；理科数学试卷第6页(共6页)（2）若12PFF的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．21．已知函数lnxfxaxe，其中a为常数．（1）若直线2yxe是曲线yfx的一条切线，求实数a的值；（2）当1a时，若函数lnxgxfxbx在1,上有两个零点．求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为21xtyt＝，＝＋（t为参数），曲线21:1Cyx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为π42sin4-.（1）若直线l与,xy轴的交点分别为,AB，点P在1C上，求BABP的取值范围；（2）若直线l与2C交于MN,两点，点Q的直角坐标为2,1，求||||||QMQN的值.23.[选修4–5：不等式选讲]已知函数223fxxxm,Rm．（1）当2m时，求不等式3fx的解集；（2）若,0x，都有2fxxx恒成立，求m的取值范围．理数答案第1页，总12页绝密★启用前【考试时间：2020年4月24日下午15∶00～17∶00】湖南湖北四校2020届高三学情调研联考理科数学试题参考答案及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112选项BCBADCBDCBAD1、B.【解析】由题意得，[0,4]P，(3,3)Q，∴(3,4]PQ，故选B.2、C【解析】设,xabiyabi，代入得2222346aabii，所以22224,36aab，解得1,1ab，所以22xy.3、B解析：设大正方体的边长为x,则小正方体的边长为3122xx，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则223122N200xxx，解得：N27.4、A【解析】𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+34𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+34(𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑)=14𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+34𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑，所以𝜆=14,𝜇=34，从而求得𝜆𝜇=13.5、D解析：∵函数f(x)是偶函数，∴()fxfx＝－在R上恒成立，∴0m＝，∴当0x时，易得21xfx为增函数，∴0.5223352aflogflogbflogcf＝＝，＝，＝，∵22325loglog，∴acb6、C由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥PABC，故1AC，2PA，5BCPC，22AB，23PB，理数答案第2页，总12页∴12112ABCPACSS，1222222PABS，123262PBCS，∴该多面体的侧面最大面积为22．故选C．7、B解析：双曲线C左支上的任意一点M均满足24MFMNb，即2min4MFMNb，又2122MFMNaMFMNa22322bNFaa∴2223244382babababa34802bababa或23ba∴222e1,e5ba或131N38、D【解析】由条件可得可行域，如图所示，由{0yxxya,得A22aa，.因为直线0xya与直线yx垂直，所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可，即2233122aa，解得6262a，当a62时恒存在点满足题意，故实数a的取值范围62,理数答案第3页，总12页9、C【解析】3coscos5aBbAc∴由正弦定理，得35sinAcosBsinBcosAsinC，CABsinCsinAB（）（），，∴35sinAcosBsinBcosAsinAcosBcosAsinB（），整理，得4sinAcosBsinBcosA，同除以cosAcosB，得4tanAtanB，由此可得23311144tanAtanBtanBtanABtanAtanBtanBtanBtanB（），AB、是三角形内角，且tanA与tanB同号，AB、都是锐角，即00tanAtanB＞，＞，114244tanBtanBtanBtanB33144tanABtanBtanB（），当且仅当14tanBtanB，即12tanB时，tanAB（）的最大值为34．10、B解析：∵2ππ2cos1cos1sin242xxx，2()sin1sinsinsinfxxxxx.令π2π2xk可得π2π2kx，∵()fx在区间0,π上恰好取得一次最大值，∴π0π2解得12.令ππ2π2π22kxk,解得：π2ππ2π22kkx，∵()fx在区间2π5π,36上是增函数，∴2ππ325π365,解得35.综上,1325.故选：B.理数答案第4页，总12页11、答案：A解析：将直线l与抛物线C联立2410yxxy，得2110xxy，即直线l与抛物线C相切，且切点为(1)2,.又P是直线l