数学实验作业8月13日第五组

实验九T4：某货运公司需要从9个货运订单中选定一些订单作为一批用一个集装箱发送，以获得最大利润。该集装箱的最大装载容积（不允许重叠堆放，所以这里以底面积表示）为1000（sqft），最大装载重量为1200（pounds）。9个货运订单的相关信息如下：订单号123456789利润763631124空间627523794质量772427867解：由题意，可假设九个货运订单如果装在集装箱内，则记作1，没有装进集装箱则记作0.设9个货单是否装进集装箱记为,1,29.ixi此题转化为求线性的整数规划问题：123456789max7636324xxxxxxxxx1234567896275237941000xxxxxxxxx1234567897724278671200xxxxxxxxx则利用LINGO软件对上述的线性整数规划求解，具体程序见附件1，得到的结果如下：Objectivevalue:1620.000X1X2X3X4X5X6X7X8X9040004600000因此，当选40份订单2,460份订单5时，利润最大，为1620.实验九T5:（指派问题）考虑指定n个人完成n项任务（每人单独承担一项任务），使所需的总完成时间（成本）尽可能短.已知某指派问题的有关数据（每人完成各任务所需的时间）如下表所示，试求解该指派问题。时间任务工人1234115182124219232218326181619419212317解：设决策变量ijx表示第i(i=1,2,3,4)个工人完成第j(j=1,2,3,4)项工作，用ijc示第i个工人完成第j项工作所需的时间。在LINGO中运行程序,具体程序见附件2，可得如下结果：VariableValueReducedCostX(1,1)015X(1,2)118X(1,3)021X(1,4)024X(2,1)119X(2,2)023X(2,3)022X(2,4)018X(3,1)026X(3,2)018X(3,3)116X(3,4)019X(4,1)019X(4,2)021X(4,3)023X(4,4)117Objectivevalue70从表格可知，当工人1承担第2项任务，工人1承担第2项任务，工人1承担第2项任务，工人1承担第2项任务时，可使总完成时间最短至70实验九T12:（易拉罐的下料）某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是拉罐是用镀锡板冲压制成的。易拉罐为圆柱形，包括罐身、上盖和下底，罐身高10厘米，上盖和下底的直径均为5厘米。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24厘米；规格2的镀锡板为长方形，长、宽分别为32和28厘米。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀镀锡板原料，只可以按照图中的模式1、2或3进行冲压；对于规格2的镀锡板原料只能按照模式4进行冲压。使用模式1、2、3、4进行每次冲压所需要的时间分别为1.5、2、1、3（秒）模式3模式1模式2上盖模式4罐身下底该工厂每周工作40小时，每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张。目前每只易拉罐的利润为0.10元，原料余料损失为0.001元/平方厘米（如果周末有罐身、上盖或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作是原料余料损失）。问工厂应如何安排每周的生产？解：已知上盖和下底的直径d=5厘米，可得其底面积为π(d/2)^2=19.6平方厘米,周长为πd=15,7厘米；又已知罐身高h=10厘米,可得其表面积为πdh=157.1平方厘米。于是模式1下的余料损失为24*24-19.6*10-157.1=222.6平方厘米。同理计算其它模式下的余料损失,并可将4种冲压模式的特征归纳如表一。表一：4种冲压模式的特征模式罐身个数底、盖个数余料损失（平方厘米）冲压时间（秒）模式1110222.61.5模式224183.32.0模式3016261.81.0模式445169.53.0问题的目标显然应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大，约束条件除每周工作时间和原料数量外，还要考虑罐身和底、盖的配套组装。先优化建模模型建立决策变量：用xi表示按照第i种模式的冲压次数（i=1,2,3,4）,y1表示一周生产的易拉罐个数。为计算不能配套组装的罐身和底、盖造成的原料损失，用y2表示不配套的罐身个数,y3表示不配套的底、盖个数。虽然实际上xi和y1,y2,y3应该是整数。但是由于生产量相当大，可以把它们看成是实数，从而用线性规划模型处理。决策目标：假设每周生产的易拉罐能够全部售出，公司每周的销售利润是0.1y1。原料余料损失包括两部分,4种冲压模式下的余料损失，和不配套的罐身和底、盖造成的原料损失。按照前面的计算及表三的结果，总损失为：1234230.001(222.6x+183.3x+261.8x+169.5x+157.1y+19.6y)。于是决策目标为：1123423Max=0.1y-0.001(222.6x+183.3x+261.8x+169.5x+157.1y+19.6y)(1)约束条件:(1)时间约束：每周工作时间不超过40小时=144000（秒），即可列式得：12341.5x+2x+x+3x=144000(2)(2)原料约束：每周可供使用的规格1,2的镀锡板原料分别为50000张和20000张，即123x+x+x=5000(3)4x=2000(4)(3)配套约束：由题知一周生产的罐身个数为x1+2x2+4x4,一周生产的底、盖个数为10x1+4x2+16x3+5x4，因为应尽可能将它们配套组装成易拉罐销售。所以y1满足1241234min={x+x+4x,(10x+4x+16x+5x)/2}(5)这时不配套的罐身个数y2和不配套的底、盖个数y3应为21224413101421635421yxxxyyxxxxy(7)由此可知，(1)(7)就是我们得到的模型，其中(5)是一个非线性关系，不易直接处理，但是它可以等价为以下两个线性不等式模型求解：将模型(1)～(4)和(6)～(9)直接输入LINGO求解时LINDO发出警告信息（程序和警告信息参见图5-4）。图中错误编号,66”的含义（参见第4章的错误代码表）是：模型中数据不平衡，所以发出警告信息（注意，只是警告信息，所以仍然可以继续求解）。求解结果是：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)4298.337VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY1160250.0000000.000000X10.0000000.000050X240125.0000000.000000X33750.0000000.000000X420000.0000000.000000Y20.0000000.223331Y30.0000000.036484优化建模图模型中数据不平衡的警告信息优化建模这个结果不可靠,由于LINGO警告模型中数据之间的数量级差别太大，所以我们可以进行预处理，缩小数据之间的差别。实际上，约束(2)～(4)中右端项的数值过大（与左端的系数相比较）,LINDO在计算中容易产生比较大的误差，所以出现此警告信息。为了解决这一问题，可以将所有决策变量扩大10000倍（相当于xi以万次为单位,yi以万件为单位）。此时，目标(1)可以保持不变（记住得到的结果单位为万元就可以了），而约束(2)～(4)改为123412341.5x+2x+x+3x14.4(10)x+x+x5(11)x2(12)优化建模将模型(1)和(6)～(12)输入LINGO，程序见附件:均衡数据优化建模求解得到的结果如下：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.4298337VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY116.0250000.000000X10.0000000.000050X24.0125000.000000X30.3750000.000000X42.0000000.000000Y20.0000000.223331Y30.0000000.036484从表格可知，模式1不使用，模式2冲压次数为40125次，模式3冲压次数为3750次，模式4冲压次数为20000次，可生产易拉罐160250个，罐身和底、盖均无剩余，净利润为4298元。数学实验作业第五组侯永利（121170011）吕菊香（121170012）陈智杰（121170018）2014年8月13日星期三