第08讲-正方形的性质与判定-学案

高效提分源于优学1思考乐优学产品中心初中组第08讲正方形的性质与判定温故知新一、平行四边形的性质与判定1、平行四边形的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。3、平行四边形的判别方法：平行四边形中有4条判定定理：简记为一组两组两条一组（对边平行且相等）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组（对边平行、对边相等）两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两条（对角线相互平分）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形◆二、菱形的性质与判定：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形。2、菱形的性质：（1）对边平行，四边相等。（2）对角相等，邻角互补。（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。四边形ABCDABBCCDDA是菱形四边形12ACBDABCD是菱形3、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形。平行四边形四边形是菱形ABCDABCDACBD（3）四条边都相等的四边形。ABBCCDDAABCD是菱形（4）菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半。ABCD12ABCD官网：◆三、矩形的性质与判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。课堂导入矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。（1）边：对边平行且相等。（2）角：四个角都是直角。（3）对角线：互相平分且相等。矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形。（2）对角线相等的平行四边形。（3）有三个角是直角的四边形。高效提分源于优学3思考乐优学产品中心初中组正方形的定义及性质（1）正方形的定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。它包含两层意思：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。（2）正方形的性质：正方形具有矩形和菱形的一切性质。边：对边平行，四边相等。角：四个角是直角。对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。典例分析例1、下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形例2、已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积记作S2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，面积记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（）A．256B．900C．1024D．4096知识要点一官网：、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4B．3C．2+D．例4、如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为．例5、如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD与点G．（1）求证：CG=CE；（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．高效提分源于优学5思考乐优学产品中心初中组举一反三1、如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3，…，按图示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3，…，在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，…，则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是（）A．（）2015B．（）2016C．（）2016D．（）20152、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A．2B．3C．4D．5学霸说熟练掌正方形的性质，三角形的全等判定及性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上中线的性质等是解题的关键；官网：、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°4、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是．5、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，则an=．高效提分源于优学7思考乐优学产品中心初中组正方形的判定判定方法（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）有一个角是直角的菱形是正方形。（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。6、如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G、E分别是边AB、BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方线CF于点F．（1）证明：△AGE≌△ECF；（2）求△AEF的面积．典例分析例1、下列说法不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．一组邻边相等的矩形是正方形知识要点二官网：、如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形例3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=3AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为．高效提分源于优学9思考乐优学产品中心初中组例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．举一反三1、菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等2、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．官网：、如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若BD=8cm，求线段BE的长．课堂闯关初出茅庐1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4C．8﹣4D．+1高效提分源于优学11思考乐优学产品中心初中组3、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．64、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE．求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形．官网：．【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC=．【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．（1）求证：ED=FC．（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．高效提分源于优学13思考乐优学产品中心初中组考场直播1、如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．（1）证明：EF=CF；（2）当时，求EF的长．套路揭密：（1）考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；（2）几何图形中，仔细分析图形的构成并熟练掌握各种性质是解题的关键。官网：、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A．2B．3C．4D．52、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°3、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．C．D．高效提分源于优学15思考乐优学产品中心初中组4、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣1，）D．（1，﹣）5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是（）A．B．14C．D．6、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于．官网：、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？