初二-第06讲-勾股定理的应用-教案

1第06讲勾股定理的应用温故知新一、上节课重点回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用,ab和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有222abc。2、勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。课堂导入一、问题导入2典例分析例1、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5mB．12mC．13mD．18m【解析】D．例2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，则A，B两点间的距离是（）A．200mB．20mC．40mD．50m【解析】C．勾股定理的应用1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理可以解决直角三角形的边长问题。（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知三角形的一边及另外两边的关系求未知边。2、勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形，通过数量关系来研究图形中的位置关系。3、建立勾股定理及逆定理的模型解决实际问题：用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是建立直角三角形号的模型，即将实际问题转化为数学问题，这里特别要注意弄清楚实际语言与数学语言间的关系。知识要点一3例3、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了0.5米．【解析】在直角△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC==2米，在直角△CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，∴CE==1.5米，∴AE=2米﹣1.5米=0.5米．答案为：0.5．例4、一个零件的形状如图所示，已知AC⊥AB，BC⊥BD，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，求CD的长．【解析】在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=42+32=25，在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2=25+122=169，∴CD=13（cm）．答：CD的长为13cm举一反三1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm【解析】D．2、放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1300米【解析】D．3、有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢的顶端飞到另一棵树的树梢的顶端，至少飞了米（用含根号的式子表示）．4、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要612元钱．45、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？【解析】（1）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；学霸说规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误.4.应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．5常见立体图形平面化例如：求AC'、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求AB两点的最短距离，可将圆柱体表面展开，利用勾股定理即可求。立体图形的最短路径在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短。在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段长，而是应该将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线。知识要点二6典例分析例1、如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm【解析】C．例2、如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A．20cmB．30cmC．40cmD．50cm【解析】B．例3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为125cm．【解析】展开图为：则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AB==125cm．所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．故答案为：125cm．举一反三1、如图，圆柱的底面半径是40，高为30π，一只蚂蚁在圆柱的侧面爬行，请问蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是（）A．50πB．50C．500πD．500【解析】A．72、如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．20B．25C．30D．32【解析】B．3、如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少cm？课堂闯关初出茅庐1、如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cmB．200cmC．205cmD．210cm【解析】A．2、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A．12cmB．11cmC．10cmD．9cm【解析】C．3、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为96m2．84、你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需1.5m长．5、如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．6、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，∵AC=60m，AB=100m，且AB为斜边，根据勾股定理得：BC=80（m）；（2）这辆小汽车没有超速．理由：∵80÷5=16（m/s），平均速度为：16m/s，16m/s=57.6km/h，57.6＜70，∴这辆小汽车没有超速．优学学霸1、已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是多少？【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，则：=×2×3π，其中r=3，∴n=180°，如图所示：由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，∴BP==3cm，9故蚂蚁沿线段Bp爬行，路程最短，最短的路程是3cm．2、如图，一只杯子的上下底面分别是直径为5cm和7.5cm的圆，母线AB的长为15cm．（1）求杯子的侧面积．（2）从点B出发，绕着杯子两圈画一条装饰线，终点为A，求装饰线的最短长度．【解析】解：（1）纸杯的侧面展开如图所示：延长AB，A'B'交于点O，设∠O的度数是n，则7.5π=，5π=，解得：OA=45cm，n=30°，∴BO=45﹣15=30cm，（2）如图所示，将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，连接BD，则BD的长度是装饰线的最短长度．过B作BE⊥OD于E，则Rt△BOE中，OB=30，∠BOE=60°，∴OE=15cm，BE=15cm，∴DE=45﹣15=30（cm），∴在Rt△BDE中，BD===15（cm）．故装饰线的最短长度为15cm．3、有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处面包屑．（1）该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；（2）求蚂蚁爬行的最短路线长．【解析】解：（1）如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．（2）∵在直角△A′EG中，A′E=80cm，EG=60cm，∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G==100cm．∴最短路线长为100cm．10自我挑战1、如图，从电线杆离地面3米高处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有（）米．A．2B．3C．4D．5【解析】C．2、如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米）A．2B．4C．5D．6【解析】B．3、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在高竹子底端3尺处，则折射处高地面的高度为（）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）A．3尺B．4尺C．4.55尺D．5尺【解析】C4、如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（）A．10B．8C．5D．4【解析】A5、已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．8B．10C．12D．16【解析】B116、木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面合格（填”合格”或”不合格”）．7、有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为234m2．8、如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是多少？【解析】在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：BC==40（m），故小汽车的速度为v==20m/s．故答案为：20．9