基于内模原理的LQG最优控制器的设计及仿真研究

基于内模原理的LQG最优控制器设计及仿真研究靳其兵1，任士兵2，王再富3，孙晓天3（1．北京化工大学自动化研究所，北京100029；2．北京化工大学信息学院，北京100029）摘要:在传统内模控制原理的基础上，本文将最优控制理论中的线性二次型Gauss(LQG)最优控制引入到内模控制的结构中。针对被控对象的模型，根据二次型的性能指标，设计最优状态反馈控制器，同时考虑到系统的随机噪声和量测噪声设计Kalman滤波器，进而构建LQG最优控制器。通过LQG最优控制器和基于内模原理设计的校正调节器对被控对象进行控制。本文提出的方法综合了内模控制和LQG最优控制的优点，使控制系统达到满意的控制效果。仿真结果表明本文提出的设计方法能较好解决被控对象的实时性和时滞性，并且具有良好的抗噪性，稳定性。该方法参数调节容易，易于工程实施。关键词:内模控制；LQG最优控制器；Kalman滤波器；校正调节器中图分类号:TP1文献标识码:A文章编号：LQGOptimumControllerDesignandSimulationBaseonInterModelControlTheoryJINQi-bing1，RENShi-bing2，WangZai-fu3,SunXiao-tian3(1．AutomationResearchInstitute,BeijingUniversityofChemicalTechnology,Beijing100029,China;2．InformationCollege,BeijingUniversityofChemicalTechnology,Beijing100029,China)Abstract:Baseonthetraditionalinternalmodelcontrol(IMC)principle,thisarticleintroducelinearquadricGaussoptimalcontrol(LQG)totheIMCconstruct.Accordingthesystemperformanceindex,processmodelstatefeedbackcontroller(LQ)isdesigned,atthesametime,consideringsystemrandomnoiseandmeasurementnoisedesignKalmanfilter.ThusthesystemcontrollerisLQGcontrollerwhichiscombinebyLQwithKalmanfilterandIMCcontroller,whichsynthesisLQGoptimumcontrolandIMCmerit.Thesimulationshowsthatthismethodcanovercometheinfluenceoncontrolperformancecomefromtheparametervariationandsystemnoiseofthecontrolledobjectwithtimedelay,hasstrongerantinosieandstability.Inaddition,theproposedmethodiseasytoregulate,anditisfitforengineeringapplications.Keywords:IMC;LQGoptimumcontrol;Kalmanfilter;Correctioncontroller;Simulation1引言在实际工业控制过程中，被控对象时常存在实时性和滞后性，而且被控对象的控制量及反馈量多为模拟信号，在信号传输过程中存在着多种随机噪声干扰。由于这类现象的存在，对工业生产的控制产生了很大的影响，难以使控制系统达到最优的控制状态对于时滞问题，内模（IMC）被证明是一种很有效的先进控制方法。但是对于系统存在的随机噪声和量测噪声，传统的内模控制是无法解决这类问题的。而线性二次型Gauss（LQG）最优控制被证明能很有效的解决系统随机噪声的问题，使系统达到最优的控制。许多文献都提出了一些新型的控制结构和调节方法来解决上述问题没，文献[5]讲述了在Smith预估器的基础上加入了Butterworth滤波器，结合PD控制器进行共同控制，但是设计过程过于复杂，且没有考虑系统噪声的影响。在文献[3]中考虑了系统噪声，引入了Kalman滤波器，结合PID控制进行控制，但是控制效果没有内模控制的性能好。本文受文献[5]的启发，在基于内模原理的基础上，引入了LQG最优控制的环节。根据辨识出的过程模型，考虑随机输入噪声和量测噪声设计LQG控制器，然后结合内模控制器对被控对象进行共同控制。本文提出的设计方法将内模和LQG最优控制两者结合起来，发挥二者各自的优点，使控制系收稿日期:yyyy-mm-dd基金项目：国家863计划资助项目(2008AA042131)；国家973计划资助项目(2007CB714300)作者简介:靳其兵(1971-)，男，博士生导师，主要从事先进控制的研究与应用，E-mail:[e-mail];任士兵(1984-)，男，硕士研究生，主要从事多变量内模控制技术的研究与应用，E-mail:[e-mail];统达到满意的控制效果。2内模-LQG最优控制器设计2.1结构框架内模控制[1]方法自上世纪80年代被提出以来，已经被证明是一种有效可行的先进控制策略，并且在工业现场得到了成功的应用。但常规的内模结构并不能有效抑制现场的随机噪声，针对这一问题，本文在内模的基础上引入了LQG最优控制，改进后的控制结构如图1所示：图1内模-LQG控制结构框图Fig.1StructureofIMC-LQG其中：Gc为控制器，Gp为被控对象，Gm为过程模型，LQG为根据模型设计的最优控制器，U*为LQG控制器的输出控制律，r为给定输入，d为干扰输入，为系统干扰噪声，v为传感器带来的量测噪声，y为系统输出。由传统的内模原理，通过求取参考输入r和扰动d与过程输出y之间的传递函数，易得出系统的闭环响应为：(*)1()1[]1[]PcmcmpmcpmGGuGGysrdGGGGGG如果模型准确，即Gm(s)=Gp(s),且没有外界扰动，通过选取合适的控制器，则模型的输出与设定是相等的，系统能够实现对设定的无偏差跟踪。2.2LQG控制器的设计LQG最优控制器是由系统的最优反馈增益K和Kalman滤波器构成，其结构框图如图二所示。图二LQG最优控制器框图Fig.2StructureofLQGcontroller为系统干扰噪声，v为传感器带来的量测噪声，被控对象即为图一中的Gp。本文中的LQG最优控制器是基于过程模型设计的，利用LQG控制器与基于内模的控制器共同控制被控对象。取对象模型的状态方程为：()()()()()()()xtAxtButGtytCxtt式中为系统干扰噪声，v为传感器带来的量测噪声，假设这些信号为零均值的Gauss过程，它们的协方差为：[()()]0[()()]0TTEttEvtvt进一步假设()t和()vt为相互独立的随机变量，使得[()()]0TEtvt，定义最优控制的目标函数为：0()()()()TTJExtQxtutRutdt式中Q为给定的半正定实对称常数矩阵，R为给定的正定实对称常数矩阵。通过求解u*使得目标函数J为最小。根据极值原理可以导出最优控制律：*1TuRBPxKx，式中k即为最优反馈增益矩阵，P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提(Riccati)代数方程：10TPAAPPBRBPQ。通过状态反馈增益矩阵K，将受控系统的状态反馈到其输入端，用于调节系统状态的偏差，以校正受控系统的控制量，从而使得系统回到或者趋近于平衡状态。在完成了最优反馈增益矩阵的设计后，接下来论述带有扰动的状态估计的问题。对于本文的LQG控制器设计，系统的Kalman滤波器就是最优观测器。对于带有系统噪声与量测噪声的实际系统，必须通过适当的机构抑制或滤掉噪声对系统的干扰及影响，对系统的状态做出精确的估计。由最优控制的理论可知，利用Kalman滤波器对系统进行最优控制是非常有效的。针对模型的状态，令ˆx与x分别为状态向量估计值与状态向量的估计误差值，x(t)为状态向量的理论值，则有：ˆ()()()xtxtxt。除上述假设外，还假设{C,A}是完全可观测的。在这些假设均成立的条件下，使估计误差平方和的期望值最小(最小方差迹准则滤波估计)即有：{()()}minTJExtxt，其最优估计器为：.ˆˆˆ()()()[()()]xtAxtButLytCxtˆ()()()()ALCxtButLyt式中100TLPCR,其中P0为以下Riccati方程的解：10000000TTTAPPAGQGPCQCP,可以证明，Riccati方程的解就是估计误差的协方差，而此协方差的迹0()trP就是误差方差，即0[()()][()]TTtrPtrExtxtExxt综上所述，根据LQG问题的分离原理，典型的线性二次型Gauss最优控制器的设计步骤可以总结如下：(1)根据二次型的性能指标J，寻求最优状态饭扩增益矩阵K。(2)设计一个Kalman滤波器来估计系统状态。(3)构建LQG最优控制器。2.3校正调节器设计由于上文中的LQG最优控制器设计的前提是对受控系统建立状态空间描述形式的系统模型，系统综合导出的反馈控制是相对于受控系统模型而确定的。但是，由于在数学建模中不可避免的简化和实际生产中难以排除的因素，使得系统模型总是包含某种不确定性；此外，由于环境因素的原因，又可能导致系统参数的摄动，这些都可能导致所组成的控制系统达不到期望的性能甚至出现不稳定，这些问题仅仅通过LQG控制器是无法解决的。与此同时，基于内模原理的控制器就正好可以解决被控对象的时滞性和模型摄动的问题，因此本文的主回路校正调节器依旧沿用内模控制器的设计方法。步骤1过程模型mG的分解mGs可以分解成两项：mGs和mGs，有mmmGsGsGs此处，mGs是一个全通滤波器传递函数，对于所有频率ω，满足1mGj。事实上，mGs包含了所有时滞和右半平面零点。mGs是具有最小相位特征的传递函数，即mGs稳定且不包含预测项。步骤2校正调节器的设计若1mGs存在且正则，则1IMCmGsGs是唯一的最优内模控制器。若1mGs非正则，则1mGs物理不可实现，可引入滤波器fs，构成次优IMC控制器1CmGsGsfs。通常对于阶跃输入和扰动，取()1/(1)nfss的形式，式中n为相对阶，0为滤波器时间常数，由于只有一个可调整的参数，导致在面对具体系统时难以在平稳性和快速性之间进行协调。针对这一现象，本文引用文献[7]的方法，采用一个二阶的Bessel反馈滤波器212()1/(1)fsss。结合根据内模原理设计的控制器，得到本文前向通道的校正调节器：1CmGsGsfs，12,可以根据控制过程中的实际情况进行调节。综上所述，就完成了基于内模原理的LQG最优控制器的设计。3仿真实验根据本文提出的基于内模原理的LQG最优控制器的方法，对实际生产中出现的对象进行仿真对比，并分析本文提出的方法的优越性。3.1系统过程仿真实验本文的仿真被控对象取化工生产中一类典型的二阶时滞对象21()2131spGsess，在仿真中取系统的随机噪声()0.001t，量测噪声()0.01vt。根据不同情况，在Matlab中编写程序进行仿真并进行对比。（1）模型适配情况考虑随机噪声和量测噪声的情况下，按照传统内模控制进行仿真，，滤波参数120.5,0.4，在20S加