高中数学必修4：三角函数的实际问题

§9三角函数的简单应用我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.在本节中，我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．（重点）2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.（难点）例题讲解：水车问题RbαφGQOPMNF0,1.21.5,4min8032.40bOFmRmPOQNOQTsradsT水面高度为圆心距水面高度为，圆的半径为，，水车旋转一周所用的时间为，单位时间旋转的弧度为0PQt为方便解题，不妨从点位于水车与水面的交点处开始计时（）=40ttrad点P经过时刻旋转的角度为，则（）sinPhPMPNNMRb点距离水面的高度为1.24sin,53.10.2951.55bOQFradR在中，所以1.5sin0.2951.240Rbhtm把、、、代入上式得，解:不妨设水面的高度为0,当点P旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.显然，h与t的函数关系是周期函数的关系.如图，设水车的半径为R，R=1.5m;水车中心到水面的距离为b,b=1.2m;QOP为;水车旋转一圈所需的时间为T;由已知T4(min)80()3s，单位时间（单位：s）旋转的角度（单位：rad）为.2/40radsT.从图中可以看出：1.2sin1.5，所以53.10.295rad.1.5sin(0.295)1.2()40htm这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式.因为当P点旋转到53.1时，P点到水面的距离恰好是1.2(m)，此时53.18011.8()360ts，故可列表、描点，画出函数在区间[11.8,91.8]上的简图：0t11.831.851.871.891.81.22.71.2-0.31.21.5sin0.2951.240ht0.29540t2322如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大.当堂检测，sinyAtb解：设函数解析式为，则0116tt当时，时间为月日。到7月1日以月为单位共6个月，即。minmax=07006900=612290010027008006TtytyTAbAAbbT由题知时，；时，。所以，即，则，。100sin8006yt所以此时表达式为min0100sin8007002,22100sin80062tykyt又时，所以不妨取此时可得函数解析式为B52sin024ytt面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.解答应用题关键是将实际问题转化为数学模型.书面作业课后作业1.通过学习三角函数的简单应用,体会数学建模的过程.2.会求三角函数的解析式，能利用数学知识解决一些简单的实际问题.