线性方程组的理论和解法

1求线性方程组的方法摘要：线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据处理是很方便简洁的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。英文题目ThesolutionoflinearequationLinearequationslinearalgebraisoneoftheimportantcomponentparts,andinreallifehasextensiveproductionuse，anditplaysanimportantroleinelectronicengineering,softwaredevelopment,personnelmanagement,transportation,etc.Insomedisciplinestudy,italsohasthereignsoflinearequationsoftheauxiliaryfunction.Inexperimentandsurveyusingthelinearequationsofthelateonthedataprocessingisveryconvenientsimplechoice.2Thisarticle,focusingonhowtosolvelinearequationstoexplain,fordifferenttypesoflinearequationsofdifferentmethods,andbrieflyintroducessomeofthepracticalapplicationoflinearequations.Keywords:Homogeneouslinearequations,Nonhomogeneouslinearequation,Clem’slaw,Eliminationmethod,Matrix,Rankofmatrix,Specialsolution,Generalsolution.正文：1引言：在对实际问题的思考中，我们免不了要用到我们所学的数学知识来解决身边所遇到的问题，建立线性方程组来求解未知数是我们最常见的一类问题。而事实上我们遇到的实际问题种类不一，形式各不相同。因此，就要要求我们了解和掌握更多更有效的方法来求解线性方程组。2线性方程组2.1线性方程组的定义2.1.1一般线性方程组所谓一般线性方程组是指形如.,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（1.1）的方程组，其中nxxx,,,21代表n个未知量，m是该方程组所包含的方程的个数，),,2,1;,,2,1(njmiaij称为方程组的3系数，),,2,1(mjbj称为常数项。常数项一般写在等式的右边，一个方程组完全由常数项与系数所确定。2.1.2齐次线性方程组所谓齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项全为零。即齐次线性方程组是指形如.0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的方程组。2.1.3非齐次线性方程组所谓非齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项不全为零。2.2线性方程组的解法2.2.1解齐次线性方程组的基本解法设有齐次线性方程组0AX(A为nm阶矩阵)，及矩阵AA(为齐次线性方程组的系数矩阵)。首先对齐次方程组系数矩阵的秩进行判定；当nrAR)(时，方程组只有零解；当nrAR)(时，方程组有无穷多解，此时方程组有r个独立未知量，r个独立方程，有rn个自由未知量，有rn个线性无关解向量。其次，根据解的性质:i．设21,是齐次方程组的解，则22112111,,kkk，仍是齐次方程组的解。4ii．n元齐次线性方程组0XAnm的全体解所构成的集合S是一个向量空间，当系数矩阵的秩rARnm)(时，解空间的维数为rn。iii．若rn,,,21是0AX的解，且满足：(i)rn,,,21线性无关；(ii)任何0AX的解向量均可由rn,,,21线性表出，则向量组rn,,,21称为0AX的基础解系。最后得出0Ax的通解：222211nnkkk，其中n,,,21是0Ax的基础解系，rnkkk,,,21是任意实数。下面介绍基础解系的求法。对A施以行初等变换(必要时重新排列未知量的顺序)可得0000000000000001000100011212111rnrrnrnraaaaaaA，对应的齐次线性方程组00011211221111nrnrrrrnnrrnnrrxaxaxxaxaxxaxax与原方程组0AX同解，其中nrrxxx,,,21为自由未知量，分别取5nrrxxx21为100010,001(共rn个)得0AX的rn个线性无关的解。100,,010,00121222212112111rnnnrnrrrrrrrraaaaaaaaa即为基础解系。2.2.2解非齐次线性方程组的基本方法设有非齐次线性方程组mnmnmmnnnmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111及系数矩阵A与增广矩阵B，首先进行判定当)()(BRAR时，方程组无解；当nBRAR)()(时，方程组有惟一解；当nrBRAR)()(时，方程组有无穷多解。再求出非齐次方程组的一个特解*，其导出组的一个解，6则*k仍是非齐次线性方程组的解。根据以上的性质，最后求出非齐次线性方程组的通解，rnrnkkk2211*，其中*是非齐次方程组的一个特解，rnrnkkk2211是其导出组的通解。2.2.3克莱姆法则定理如果含有n个方程的n元线性方程组11112211211222221122,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式111212122212det0nnnnnnaaaaaaAaaa，那么线性方程组（2）有唯一解：det(1,2,,),detjjBxjnA其中jBdet是把矩阵中第j列换成线性方程组的常数项nbbb........,21所成的矩阵的行列式，即7111,111,11222,122,121,1,1det,1,2,,.jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaBjnaabaa此外，还可以叙述为，如果含有n个未知数、n个方程的线性方程组bAX的系数矩阵的行列式0detA，则线性方程组bAX一定有解，且解是唯一的.例:解线性方程组12342341242342344,3,31,733.xxxxxxxxxxxxx解由已知可得系数行列式12341234123401110111111det16013015352073173148A,因此线性方程组有唯一解.又因124234143431110311det128,det48,1301110137310331BB341244123401310113det96,det0.1311130107310733BB故线性方程组的解为1234(,,,)(8,3,6,0)TTxxxx.8克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的.2.2.4高斯（Gauss）消去法高斯消去法是高斯首次发现并使用的。它的基本思想是：在线性代数方程组中，如果某方程中某未知量的系数非零，则可以利用它消去所有其它方程中该未知量的系数，从而使方程组得到简化。消去法是对线性方程组实行三种变换(统称为线性方程组的初等变换)：1对换方程组中某两个方程的位置；2以非零常数k乘以方程组中某个方程；3用数k乘方程组中某个方程后加到另一个方程上去。定理3：线性方程组经过初等变换后所得到的新方程组与原方程组同解。为了便于讨论，现将消去法的一般步骤规范如下：设线性代数方程组为11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)利用第一方程第一未知量的非零系数消去其他方程的第一未知量的系数。9a.不失一般性,设110a。这是因为如果110a，可以通过互换两个方程或互换两个未知量的位置，使变换后的第一方程第一未知量的系数非零，即使110a。b.若第一方程第一未知量的系数111a，则可以通过互换两个方程的位置或第一方程两边同时乘以非零常数111a，使第一方程第一未知量的系数化为1。c.第i方程(1)i加上第一方程的1()ia倍，则消去第i方程的第一未知量的系数，得同解方程组形如：1122112222222nnnnmmnnmxaxaxbaxaxbaxaxb(2)利用第二方程第二未知量的非零系数消去其它方程的底二未知量的系数。a.不失一般性，设220a。这是因为如果220a，可以通过互换除第一方程之外的任意两个方程的位置，或互换除第一未知量之外的任意两个未知量的位置，使变换后的第二方程第二未知量的系数非零，即使220a。b.若第二方程第二未知量的系数221a，则可以通过互换除第一方程之外的任意两个方程或第二方程两边同时乘以非零常数221a，使第二方程第二未知量的系数化为1。c.第i方程2i加上第二方程的2()ia倍，则消去第i方程10的第二未知量的系数，使得同解方程形如：1133112233222333333nnnnnnmmnnmxaxaxbxaxaxbaxaxbaxaxb依此类推，直到这个过程不能再进行为止。消去的结果是把原线性方程组变换为如下形式同解的方程组，我们称其为最简方程组：(i)第一形式最简方程组1122nnxdxdxd此时，方程组有唯一解，即1122nnxdxdxd(ii)第二形式最简方程组11111122112211rrnnrrnnrrrrrnnrxcxcxdxcxcxdxcxcxd其中rn，此时，方程组有无穷多组解。实际上，对于任意常数1112,,,nrkkk，1111112211221111rnnrrnnrrrrrnnrrrnnrxckckdxckckd