离散数学——树

第16章树离散数学本章说明树是图论中重要内容之一。本章所谈回路均指初级回路（圈）或简单回路，不含复杂回路（有重复边出现的回路）。16.1无向树及其性质定义16.1无向树——连通无回路的无向图，简称树，用T表示。平凡树——平凡图。森林——若无向图G至少有两个连通分支（每个都是树）。树叶——无向图中悬挂顶点。分支点——度数大于或等于2的顶点。举例如图为九个顶点的树。定理16.1设G＝V,E是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：（1）G是树。（2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。（3）G中无回路且m＝n1。（4）G是连通的且m＝n1。（5）G是连通的且G中任何边均为桥。（6）G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。无向树的等价定义(1)(2)如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。存在性。由G的连通性及定理14.5的推论（在n阶图G中，若从顶点vi到vj(vivj)存在通路，则vi到vj一定存在长度小于等于n-1的初级通路(路径)）可知，u,v∈V，u与v之间存在路径。唯一性（反证法）。若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径，易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路，这与G中无回路矛盾。(2)(3)如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径，则G中无回路且m＝n-1。首先证明G中无回路。若G中存在关联某顶点v的环，则v到v存在长为0和1的两条路经(注意初级回路是路径的特殊情况)，这与已知矛盾。若G中存在长度大于或等于2的圈，则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径，这也与已知矛盾。(2)(3)如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径，则G中无回路且m＝n-1。其次证明m＝n-1。（归纳法）n＝1时，G为平凡图，结论显然成立。设n≤k(k≥1)时结论成立，当n=k+1时，设e＝(u,v)为G中的一条边，由于G中无回路，所以G-e为两个连通分支G1、G2。设ni、mi分别为Gi中的顶点数和边数，则ni≤k，i＝1,2，由归纳假设可知mi＝ni-1，于是m＝m1+m2+1＝n1-1+n2-1+1＝n1+n2-1＝n-1。只需证明G是连通的。（采用反证法）假设G是不连通的，由s(s≥2)个连通分支G1,G2,…,Gs组成，并且Gi中均无回路，因而Gi全为树。由(1)(2)(3)可知，mi＝ni-1。于是，由于s≥2，与m＝n-1矛盾。111(1)sssiiiiiimmnnsns(3)(4)如果G中无回路且m＝n-1，则G是连通的且m＝n-1。如果G是连通的且m＝n1，则G是连通的且G中任何边均为桥。只需证明G中每条边均为桥。e∈E，均有|E(G-e)|＝n-1-1＝n-2，由习题十四题49（若G是n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1）可知，G-e已不是连通图，所以，e为桥。(4)(5)如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图，所以，G中没有回路，也即G中无圈。又由于G连通，所以G为树，由(1)(2)可知，u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈，显然圈是唯一的。(5)(6)如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。只需证明G是连通的。u,v∈V，且u≠v，则新边(u,v)∪G产生唯一的圈C，显然有C-(u,v)为G中u到v的通路，故u～v，由u,v的任意性可知，G是连通的。(6)(1)定理16.2设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，证明2(1)()2()indvxnx由上式解出x≥2。无向树的性质例16.1例16.1画出6阶所有非同构的无向树。解答设Ti是6阶无向树。由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5，由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。于是Ti的度数列必为以下情况之一。(1)1，1，1，1，1，5(2)1，1，1，1，2，4(3)1，1，1，1，3，3(4)1，1，1，2，2，3(5)1，1，2，2，2，2(4)对应两棵非同构的树，在一棵树中两个2度顶点相邻，在另一棵树中不相邻，其他情况均能画出一棵非同构的树。例16.1人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。例16.2例16.27阶无向图有3片树叶和1个3度顶点，其余3个顶点的度数均无1和3。试画出满足要求的所有非同构的无向树。解答设Ti为满足要求的无向树，则边数mi＝6，于是∑d(vj)＝12＝e+3+d(v4)+d(v5)+d(v6)。由于d(vj)≠1∧d(vj)≠3，而且d(vj)≥1且d(vj)≤6，j＝4,5,6，可知d(vj)＝2，j＝4,5,6。于是Ti的度数列为1，1，1，2，2，2，3由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：1,1,21,2,22,2,2设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵非同构的7阶无向树。例16.2例题例题已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树。解答设有x片树叶，于是结点总数为n＝1+2+x＝3+x由握手定理和树的性质m＝n1可知，2m＝2(n1)＝2×(2+x)＝1×3+2×2+x解出x＝3，故T有3片树叶。故T的度数应为1、1、1、2、2、3。例题已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同构的无向树。解答设T的阶数为n,则边数为n1，4度顶点的个数为n7。由握手定理得2m=2(n1)=51+21+31+4(n7)解出n=8，所以4度顶点为1个。故T的度数列为1、1、1、1、1、2、3、4。例题小节结束例题16.2生成树定义16.2设G为无向图，（1）T为G的树—T是G的子图并且是树。（2）T为G的生成树—T是G的生成子图并且是树。（3）e为T的树枝—设T是G的生成树，e∈E(G)，若e∈E(T)。（4）e为T的弦—设T是G的生成树，e∈E(G)，若eE(T)。（5）生成树T的余树—导出子图G[E(G)-E(T)]。记作T注意：不一定连通，也不一定不含回路。T说明定理16.3无向图G具有生成树当且仅当G连通。证明必要性，显然。充分性（破圈法）。若G中无回路，G为自己的生成树。若G中含圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图，所以为G的生成树。生成树的存在条件最小生成树定义16.5设T是无向连通带权图G＝V,E,W的一棵生成树，T的各边权之和称为T的权，记作W(T)。G的所有生成树中权最小的生成树称为G的最小生成树。求最小生成树的算法（避圈法(Kruskal)）(1)设n阶无向连通带权图G＝V,E,W有m条边。不妨设G中没有环（否则，可以将所有的环先删去），将m条边按权从小到大排序：e1,e2,…,em。(2)取e1在T中。(3)依次检查e2,…,em，若ej(j≥2)与已在T中的边不构成回路，取ej也在T中，否则弃去ej。(4)算法停止时得到的T为G的最小生成树为止。例16.3例16.3求下图所示两个图中的最小生成树。W(T1)＝6W(T2)＝12例题例如求所示图的一棵最小生成树。解答最小生成树W(T)=38小节结束16.3根树及其应用设D是有向图，若D的基图是无向树，则称D为有向树。在所有的有向树中，根树最重要，所以我们只讨论根树。二叉树的应用根树的定义定义16.6T是n(n≥2)阶有向树，(1)T为根树—T中有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1(2)树根——入度为0的顶点(3)树叶——入度为1，出度为0的顶点(4)内点——入度为1，出度不为0的顶点(5)分支点——树根与内点的总称(6)顶点v的层数——从树根到v的通路长度(7)树高——T中层数最大顶点的层数(8)根树——平凡树根树的画法树根放上方，省去所有有向边上的箭头。树叶——8片内点——6个分支点——7个高度——5家族树常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。定义16.7设T为一棵非平凡的根树，vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。若vi邻接到vj（即vi,vj∈E(T)），则称vi为vj的父亲，而vj为vi的儿子。若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。定义16.8设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为以v为根的根子树。根树的分类(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序，则称T为有序树。(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序r叉树——每个分支点至多有r个儿子r叉有序树——r叉树是有序的r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子r叉正则有序树——r叉正则树是有序的r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树r叉完全正则有序树——r叉完全正则树是有序的最优二叉树定义16.9设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt，权分别为w1,w2,…,wt，称为T的权，其中l(vi)是vi的层数，在所有有t片树叶、带权w1,w2,…,wt的2叉树中，权最小的2叉树称为最优2叉树。1()()tiiiWtwlv举例下图所示的三棵2叉树T1,T2,T3都是带权为2、2、3、3、5的2叉树。W(T1)=2×2+2×2+3×3+5×3+3×2=38W(T2)=3×4+5×4+3×3+2×2+2×1=47W(T3)=3×3+3×3+5×2+2×2+2×2=36求最优树的算法(Huffman算法)给定实数w1,w2,…,wt，且w1≤w2≤…≤wt。①连接权为w1,w2的两片树叶，得一个分支点，其权为w1+w2。②在w1+w2,w3,…,wt中选出两个最小的权，连接它们对应的顶点（不一定是树叶），得新分支点及所带的权。③重复②，直到形成t1个分支点、t片树叶为止。算法举例例如：求带权为1、1、2、3、4、5的最优树。解答W(T)=38(1)最佳前最码的定义定义16.10设1,2,…,n-1,n是长度为n的符号串，称其子串1,12,…,12…n1分别为该字符串的长度为1,2,…,n的前缀。设A={1,2,…,m}为一个符号串集合，若对于任意的i,jA，ij，i,j互不为前缀，则称A为前缀码。若i(i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号，则称A为二元前缀码。(2)如何产生二元前缀码？定理16.6由一棵给定的2叉正则树，可以产生唯一的一个二元前缀码。最佳前缀码方法：将每个分支点引出的两条边分别标上0和1。结果：图所示树产生的前缀码为{00,10,11,011,0100,0101}。用Huffman算法产生最佳前缀码例16.6在通信中，八进制数字出现的频率如下：0：25%1：20%2：15%3：10%4：10%5：10%6：5%7：5%求传输它们的最佳前缀码？求传输10n（n≥2）个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的（长为3）的码字传输需要多少个二进制数字？解答以100乘各频率为权，并按小到大排列，得w1=5,w2=5,w3=10,w4=10,w5=10,w6=15,w7=20,w8=25。产生的最优树如下。0——011——112——0013——1004——1015——00016——000007——00001传100个按比例出现的八进制数字所需二进制数字个数W(T)=285，所以传10n(n2)个所用