数理统计公式汇总

第六章数理统计的基本概念正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品nxxx,,,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,,,21表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，nxxx,,,21表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设nxxx,,,21为总体的一个样本，称（nxxx,,,21）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,,,21）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值.11niixnx样本方差niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112niixxnS样本k阶原点矩nikikkxnM1.,2,1,1样本k阶中心矩nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布正态分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1,0(~/Nnxudeft分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(~2ntnSxtdef其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。分布2设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(~)1(222nSnwdef其中)1(2n表示自由度为n-1的2分布。F分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,,,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1,1(~//2122222121nnFSSFdef其中,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS)1,1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的F分布。（3）正态总体下分布的性质X与2S独立。第七章参数估计单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体（1）点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数m,,,21，则其分布函数可以表成).,,,;(21mxF它的k阶原点矩),,2,1)((mkXEvkk中也包含了未知参数m,,,21，即),,,(21mkkvv。又设nxxx,,,21为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为nikixn11).,,2,1(mk这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),,,(,1),,,(,1),,,(由上面的m个方程中，解出的m个未知参数),,,(21m即为参数（m,,,21）的矩估计量。若为的矩估计，)(xg为连续函数，则)ˆ(g为)(g的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为),,,;(21mxf，其中m,,,21为未知参数。又设nxxx,,,21为总体的一个样本，称),,,;(),,,(11122nimimxfL为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为),,,;(}{21mxpxXP，则称),,,;(),,,;,,,(1111222nimimnxpxxxL为样本的似然函数。若似然函数),,,;,,,(2211mnxxxL在m,,,21处取到最大值，则称m,,,21分别为m,,,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin,,2,1,0ln若为的极大似然估计，)(xg为单调函数，则)ˆ(g为)(g的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性设),,,(21nxxx为求知参数的估计量。若E（）=，则称为的无偏估计量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性设),,,,(2111nxxx和),,,,(2122nxxx是未知参数的两个无偏估计量。若)()(21DD，则称21比有效。一致性设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有,0)|(|limnnP则称n为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且),(0)ˆ(nD则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,,,,21出发，找出两个统计量),,,,(2111nxxx与),,,,(2122nxxx)(21，使得区间],[21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,1}{21P那么称区间],[21为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设nxxx,,,,21为总体),(~2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间],[21。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度1，查表找分位数；（iii）导出置信区间],[21。已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1,0(~/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/2nxP（iii）导出置信区间nxnx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1(~/ntnSxt(ii)查表找分位数.1/nSxP（iii）导出置信区间nSxnSx,方差的区间估计（i）选择样本函数).1(~)1(222nSn（ii）查表找分位数.1)1(2221SnP（iii）导出置信区间SnSn121,1第八章假设检验单正态总体的假设检验两类错误基本步骤基本思想假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件}{RK，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。基本步骤假设检验的基本步骤如下：(i)提出零假设H0；(ii)选择统计量K；(iii)对于检验水平α查表找分位数λ；(iv)由样本值nxxx,,,21计算统计量之值K；将与K进行比较，作出判断：当)(||KK或时否定H0，否则认为H0相容。两类错误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即P{否定H0|H0为真}=；此处的α恰好为检验水平。第二类错误当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即P{接受H0|H1为真}=。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设统计量对应样本函数分布否定域已知200:HnxU/00N（0，1）21||uu00:H1uu00:H1uu未知200:HnSxT/0)1(nt)1(||21ntt00:H)1(1ntt00:H)1(1ntt未知2220:H202)1(Snw)1(2n)1()1(22122nn或2020:H)1(21n2020:H)1(2n