第一章-函数极限和连续性

第一章函数、极限和连续性内容提要：1.函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系。函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接的考点。但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。因此，在开始微积分的学习之前，重温一遍函数的主要内容是必要的。函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性和有界性。2.极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。学习本章的核心任务是熟练掌握各种极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，在后续很多章节都有涉及，总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。对于极限的计算需要大量的练习，以求熟能生巧，对各种方法融会贯通。无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容。它们既是对极限计算的应用，又可以反过来帮助我们求极限。学习时，要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限。3.函数的连续性是函数的基本性质之一，微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点间断的函数。对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容，考题主要集中在连续性的讨论及间断点的分类上。对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算。另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容。第一节函数Ⅰ考点精讲一．基本概念1.函数：从实数集的子集D到R的一个映射f称之为函数，记作(),yfxxD，称x为自变量，y为因变量。函数的三要素：定义域、解析式和值域（也作二要素：定义域、解析式，因为这两者可以决定值域）。其中，定义域是自变量x的取值范围；值域是因变量的取值范围记作()fD。函数由其解析式和定义域唯一确定，与符号的选取无关，如(),yfxxD与(),ufttD是同一个函数。在没有特别指定的情况下，函数的定义域取自然定义域，即使得函数运算有意义的自变量的取值范围。易知，人为指定的定义域必为自然定义域的子集。常见的函数的定义域如下：1,0;,0ln,0;,sin,;cos,tan,;cot,()2xyxxyxxyxxyexRyxxRyxxRyxxkyxxkkZ2.复合函数：设1(),yfuuD与2(),ugxxD为两个函数，如果()gx的值域2gD包含于()fu的定义域1D，则可以定义()fu与()gx的复合函数2:(()),fgyfgxxD。类似地，还可以定义三个或更多函数的的复合函数。复合函数的性质：ⅰ）复合函数的运算满足结合律，即123123ffffff（注意，复合函数不满足交换律。例如令2()2,()fxxgxx，则22(())2,(())4fgxxgfxx）；ⅱ）如果12(),()fxfx单调性相同，则12()ffx单调递增；如果12(),()fxfx单调性相反，则12()ffx单调递减。3.反函数：函数是一个映射，如果该映射的逆映射存在，则称该逆映射是函数(),yfxxD的逆映射，记作1(),()xfyyfD。反函数的性质：ⅰ）函数(),yfxxD存在反函数当且仅当对定义域内任意两点12xx，有12()()fxfx；ⅱ）反函数与原函数的图像关于直线yx对称；ⅲ）反函数与原函数的增减性相同。常见反函数：11111()sin,()arcsin()cos,()arccos()tan,()arctan(),()ln11(),()xfxxfyyfxxfyyfxxfyyfxefyyfxfyxy4.初等函数：由基本初等函数经过有限次复合或四则运算得到的函数称之为初等函数。基本初等函数包括如下五类函数：幂函数()ayxaR，指数函数：,0,1xyaaa；对数函数：log,0,1ayxaa；三角函数：sin,cos,tanyxyxyx等；反三角函数：arcsin,arcsin,arctanyxyxyx等。5.分段函数：函数在x的不同取值范围内有不同的解析式就称之为分段函数。常见的分段函数：(),0(),0fxxfxfxx，1,0sgn()0,01,0xxxx，(),()()max(),()(),()()fxfxgxfxgxgxfxgx二．基本性质1.函数的单调性：如果对函数()yfx在某区间I内的任意两点12xx都有12()()fxfx（或12()()fxfx），就称函数()fx在I上单调递增（或单调递减），相应地称I是()fx的一个单调增区间（或单调减区间）。如果对区间I内的任意两点12xx都有12()()fxfx（或12()()fxfx），我们就称函数()fx在I上单调不减（或单调不增）。函数单调性的性质：ⅰ）如果12(),()fxfx都是增函数（或减函数），则12()()fxfx也是增函数（或减函数）。ⅱ）如果1()fx是增函数，2()fx是减函数，则12()()fxfx是增函数，21()()fxfx是减函数。ⅲ）如果()fx是增函数（或减函数），如果常数0C，则()Cfx是增函数；如果常数0C，则()Cfx是减函数。常见函数的单调增区间及单调减区间：2,,,,22,,ln,0,3sin,2,2,2,22222cos,2,2,2,2xaayxaxbyeyxyxkkkkyxkkkk增区间：减区间：增区间：增区间：增区间：减区间：增区间：减区间：2.函数的周期性：如果存在正数T，使得对函数()yfx在其定义域D内的任意一点x都有()()fxTfx，就称()fx是一个周期函数，而T是()fx的一个周期。易知如果T是()fx的一个周期，那么对任意的正整数n，nT都是()fx的周期。在()fx的所有周期中，我们把其中最小的称为最小正周期。很多时候，我们往往也把最小正周期简称为周期。周期函数的性质：ⅰ）如果()fx以T为周期，则对任意的非零常数C，()Cfx仍然以T为周期，()fCx以TC为周期。ⅱ）如果12(),()fxfx都以T为周期，则1122()()kfxkfx仍然以T为周期（12,kkR）。注意这时最小正周期有可能缩小，如12()cos2sin,()sinfxxxfxx都以2为最小正周期，但12()()cos2fxfxx以为最小正周期。常见周期函数的周期：sin,2;cos,2;tan,;cot,;yxTyxTyxTyxT3.函数的奇偶性：如果对其定义域D内的任意一点x，()()fxfx（或()()fxfx），就称()fx是一个偶函数（或奇函数）。奇偶函数的性质：ⅰ）偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称；ⅱ）如果12(),()fxfx都是奇函数（或偶函数），则对任意的常数12,kkR，1122()()kfxkfx仍然是奇函数（或偶函数）；ⅲ）如果12(),()fxfx奇偶性相同，则12()()fxfx为偶函数；如果12(),()fxfx奇偶性相反，则12()()fxfx为奇函数；ⅳ）对于任意定义在对称区间上的函数()fx，fx、()()2fxfx与()()fxfx都是偶函数；()()2fxfx是奇函数。常见的奇函数：,sin,tan,cotkyxkyxyxyx为奇数,常见的偶函数：,coskyxkyx为偶数,4.函数的有界性：设(),yfxxD是一个函数，如果存在一个实数M，使得对定义域内任意的一点x，都有()fxM，则称函数()fx有上界，并称M是函数()fx的一个上界；如果存在一个实数m，使得对定义域内任意的一点x，都有()fxm，则称函数()fx有下界，并称M是函数()fx的一个下界。既有上界又有下界的函数称为有界函数，也即函数()fx有界当且仅当，存在实数m与M，使得对定义域内任意的一点x，都有()mfxM。注：有界函数还有一个等价的定义：存在实数0M，使得对定义域内任意一点x，都有()fxM。读者可以尝试自行证明这个结论。Ⅱ核心题型与思路总结题型一函数的基本概念和重要性质【例1】：判断下列函数是否相同（1）arctantanyx与yx（2）2yx与yx（3）3322sincos1yttt与yx分析：两函数相等当且仅当两函数定义域与对应法则均一致，按照这两个标准判断即可。要注意的是利用何种字母表示函数与函数是否相同无关。【解】：（1）是一对不同的函数。因为前者定义域为2xk，而后者的定义域为R。（2）是一对不同的函数，因为对应法则不同。前者的解析式为,0,0xxyxxx，当0x时，二者的对应法则不同。（3）是一对相同的函数。首先，二者的定义域同为R。其次，在前一个函数中，有33tt，22sincos1tt，因此后一个函数实际上等价于yt。而函数相同与否与自变量的选取无关，因此这两个函数相同。【例2】：求下列函数的定义域（1）arcsinarctanyx（2）arcsinln1xye分析：根据基本初等函数的定义域计算：()()0yuxux，ln()()0yuxux，arcsin()()1yuxux，1()0()yuxux。【解】：（1）arcsinarctan0arctan001arctan1tan1tan1arctan1xxxxxx因此函数的定义域为0,tan1（2）11ln111ln11ln1ln1100010xxxxeeexeeeexxxe因此函数的定义域为1ln1,ln1ee。【例3】：设22,0(),0xxfxxx，试求(())ffx与((()))fffx分析：直接按定义代入【解】：按照定义有22(),()0(())(),()0fxfxffxfxfx由()fx定义域有()00,()00fxxfxx因此有44,0(()),0xxffxxx进一步还有484(),()0((()))(),()08,0,()0fxfxfffxfxfxxxxfx【例4】：设21,10()1,01xxfxxx试计算()fx的反函数1()fx分析：把函数看作关于x方程进行求解，分段函数分段求解，求反函数时要注意计算定义域，也即原函数的值域。【解】：由21,101,01xxyxx解得2(1),101,12yyxyy因此原函数的反函数为21(1),10()1,12xxfxxx【例5】：讨论函数下列函数在其定义域内的有界性21xx，sin1xex，sinxx分析：按照定义，如果有界，一般通过不等式的放缩法得到上界和下界；如果无界，则说明函数值的绝对值可以无限扩大。【解】：21xx的定义域为,，由22(||1)12||0xxx可得212||xx，因此21122xxxx，因此21xx在定义域上有界。sin1xex的定义域为.11,。在其定义域上有sin11xex，因此函数在定义域上有界sin