初等数学研究(六)

1第六讲初等几何基础(一)阜阳师范学院新区风光2二、初等几何的内容体系①.初等几何研究的内容②.初等几何研究的方法③.初等几何的内容体系④.初等几何研究问题的主要类型）轨迹：（）计算：（）作图：（）论证：（4321§1.初等几何简介一、初等几何的研究对象3三、学习初等几何的重要性1.培养人的逻辑思维能力2.逻辑能力的培养不能被数学的其他科目完全取代3.学习初等几何可发展人的空间想象能力和识图能力4.学习初等几何有助于在生活现实中独立自主，提高动手能力，更是继续学习的基础5.你认为学习初等几何还有哪些重要性？(讨论题)41.几何发展大约经过四个阶段(1)实验几何(大约公元前七世纪前)(2)初步推理几何(大约公元前四世纪前)(3)解析几何的产生与发展(4)现代几何的发展2.欧几里得《几何原本》中的不足3.欧几里得不可磨灭的贡献(1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料整理成了系统严明的读本(2)《原本》是人类历史上的一部杰作(3)两千年来，人类对初等几何的研究仍以《原本》为依据(4)欧几里得成了“几何”的代名词欧几里德(前330～前260)毕达哥拉斯(约前580～约前500)四、初等几何学发展简史5约前486～前37664.《几何原本》译成中文简介(1)明万历年间(明万历三十五年(1607))徐光启(1562－1633)与意大利传教士利玛窦(R·Matte1552-1610)首次合译前6卷[“几何学”一词由徐光启引入]；(2)清人李善兰(1810－1882)与英人伟烈亚力(W·Lexanbler1805-1887)于1852-1856年合译后9卷。5.公理化方法从尽可能少的无定义的原始概念和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用逻辑的法则，把一门数学建成为演绎系统的方法。徐光启(1562-1633)李善兰(1810－1882)7•《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。•定义•(1)点是没有部分的。•(2)线是只有长度而没有宽度的。•(3)线的界限是点。•(4)直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。•(5)面是只有长度和宽度的。•(6)面的界限是线。•(7)平面是这样的面，它对于它的所有直线有同样的位置。•(8)平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度•(9)当形成一角度的两线是一直线的时候，那角度成为平角。……•(23)平行线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交的直线。86.希尔伯特的公理体系理公推些理地这定辑据有逻根所可出理（Ⅴ）平行公理Ⅳ（Ⅳ连续公理Ⅲ（Ⅲ合同公理Ⅱ（Ⅱ顺序公理Ⅰ（Ⅰ结合公理理公所基系义些关定这和来据念念根概概有本两角合同两线段合同合同关系：点之间顺序关系：一点介与两点在平面上点在直线上结合关系：基本关系（元谊）平面直线点基本对象（元名）基本概念（元词）统系理公特伯尔希))))21514181希尔伯特(1862～1943)9§2.几何证明概述一、现行中学几何教材的逻辑结构特征1.扩大公理系统，删减繁杂内容，适应中学生接受2.利用图形直观降低几何学习入门难度二、几何证明的要求和特点1.充分利用一般数学证明的方法、思路、技巧2.严格规范证题的基本要求3.作一般图形，尽量避免将特殊图形的某些直观特征引入几何证题4.作图准确，帮助启发探索证题思路10三、几何证题的步骤1审题：2.寻求思路：3.选择证法：4.叙述证明：EBACDFHGMPQK四、几何证题的基本思路1.如何选择适当的定理2.怎样创造条件用好选用的定理3.定理选择的多样性和特殊性4.引用定理的相关性和灵活性11§3.几何证明的一般方法1.直接证法(1)叠合法(2)合一法2.间接证法(1)反证法：①归谬法②穷举法(2)同一法证明方法小结：同一法穷举法归谬法反证法间接证法）一法，直接证法（叠合法，合证明方法一、直接证法与间接证法12☆二、综合法与分析法1.综合法(由因导果)从题设的已知出发，通过逻辑推理，导出所给命题的结论，即“由因导果”的思维方法。AC1C2C3D1D3D2D4D5B13•2.分析法(执果索因)是指从待证的结论出发，寻找结论成立的充分条件，如此逐步往追溯，一直到已知条件为止，即“执果索因”的方法。AC1C2C3C4C5D1D2D3B14三、演绎法与归纳法•1.演绎法(三段论法)是由演绎推理组成的证明方法，要求演绎推理中的三段论的大、小前提都是正确真实的，是一种由一般原理推出特殊事实结论的证明方法。例1.题略证明：同圆半径相等(大前提)OA、OB都是⊙O的半径(小前提)∴OA＝OB(结论)∵线段中点平分线段(大前提)C、D分别是OA、OB的中点(小前提)∴OC＝OA，OD=OB(结论)∵等量的同分量相等(大前提)OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)∴OC＝OD(结论)2121平时证题我们用简略的三段论。15•2.归纳法是由归纳推理组成的证明方法。归纳法又分为不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。注意：不完全归纳法有时不太可靠如：x=1,2,3,……,39时，式子x2+x+41的值都是质数，若就此得出“当x∈N+时，式子x2+x+41的值都是质数”的结论便是错误的。其实当x＝40时，402＋40＋41＝412是合数。16(2)完全归纳法－－在研究事物的一切特殊情况(通常只有有限多种)所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。(如圆周角定理的证明)(3)数学归纳法－－在研究事物的一切特殊情况(可数多种，即可用自然数来一一编号种情况)所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。17§4.度量关系与位置关系的证明(1)何谓度量关系的证明？(2)何谓位置关系的证明？一、关于两线段(角)相等的证明1.有关证明的主要定理2.证明的一般思考方法(1)(2)(3)(4)①②③(5)(6)3.例题选讲18例2：题略分析：因为a是一条直线，OA⊥a，可联想到连OE、OF.若能证得△OEF为等腰三角形即可。凭经验应连OB、OC，发现只要能证Rt△EBO≌Rt△FCO即可。它有一边OB＝OC，设法再找一组锐角或另一条直角边对应相等。另外还有哪些证明的途径？可分别在O、C、A、F和B、E、A、O共圆的条件下有：∠1＝∠2＝∠3＝∠4△OEF为等腰三角形或∠1＝∠2＝∠3(及OB＝OC)△EBO≌△FCO，OE＝OF，AE＝AFAEFBCOa341223119例3：已知B为线段AC内任一点,分别以AB、BC为边在同一侧作等边三角形ABD和BCE,BD与AE交于F,BE与CD交于G.求证:BF=BG.·BACDEF··G分析：要证BF=BG，可在△BFE、△BGC中考虑，它们已有∠1=∠2，BE=BC，若再有∠3=∠4即可。这时可考虑是否有△ABE≌△DBC.这是易证的。1234当然也可由证得△BAF≌△BDG，BF＝BG.同时，此题可改造成求证：FG∥AC，或△BFG为正三角形等。上述问题可供大家课后研究。20二、关于线段(角)的和、差、倍、分的证明1.有关证明的重要定理2.关于证明的一般思考方法［通常有“截长”、“补短”、“加倍”、“减半”、“n倍”、“1/n”等。］21ABC·PD3.例题选讲例4.已知P是正△ABC外接圆BC弧上任一点.求证：PA=PB+PC.这是一个传统的题目，不少教材都有这个例子。不少书上通常使用截长法、补短法，我们也可从不同的地方截长或补短。这样可有8种不同的方法。此外，在△PAB，△PAC中用余弦定理，或正弦定理()，或托勒密定理(最简)等可解本题。RCcBbAa2sinsinsin22三、关于线段(角)不等的证明•1.有关证明的重要定理•2.关于证明的一般方法思考•3.例题选讲例5.已知在△ABC中AB＝AC，P是△ABC内一点，且∠APB＞∠APC.求证：PB＜PC.ABCPP′小大本题的结论也可改为求证：∠BAP∠CAP大小23例6.若AD为△ABC的角平分线，过A、D的圆切BC于D，且与AB、AC分别相交于E、F.试证：EF∥BCABCDEF3124分析：本例思路：要证：EF∥BC(连ED)只要证得∠3＝∠4即可。由图易知：∠3＝∠1＝∠2＝∠4四、关于平行线的证明24五、关于垂直直线的证明•1.有关证明的重要定理•2.有关证明的一般方法•3.例题选讲例7.以△ABC的边AB和AC为一边向外分别作正方形ABDE和工ACFG，试证：BC的中线AM与EG垂直。EBACFDGM25•例8.设BD、CE为△ABC的两条高线，若M为ED的中点，N为BC的中点，试证NM⊥DE.ABCDEMN证法1.连接ND、NE，∵BN＝NC，∠BDC＝90°，∠BDC＝90°∴ND＝BC=NE.又∵DM＝ME，∴NM⊥DE。21证法2.∵∠BDC＝∠BEC＝90°，∴B、C、D、E四点共圆，且BC为圆的直径。∵BN＝NC，∴N为圆心。∵M为弦DE的中点，∴NM⊥DE。26六、关于共线点、共点线等的证明•1.有关证明的重要定理•2.有关证明的一般思考方法(P49)(1)关于点共线的证明证明A、B、C三点共线的一般思考方法是：(2)关于线共点的证明证明a、b、c三线共点的一般思考方法是：(3)关于点共圆的证明证明A、B、C、D四点共圆的一般思考方法是：(4)关于圆共点的证明喂！王老师，线共点的证明方法有哪些？27•3.例题选讲例9.已知：如图，X、Y、Z是△ABC外接圆上一点P分别在三边(或三边所在直线)上的射影.求证：X、Y、Z共线。ABC［分析：思路，连XY、XZ后，设法证明∠PXY＋∠PXZ＝180°］ZYXP28九点圆例10.三角形三边的中点，三高线足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆.称为这个三角形的九点圆。ABCD··F·EQ··RP·O.本例结论称为九点圆定理。IMNH29作业：1．在初等几何的发展中，贡献卓著的有谁？欧几里德的什么著作成为几何经典名著？这部著作的写作特点是什么？2．已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和腰AB垂直且相等，对角线BD等于底边BC，如果AC、BD交于E点，求证：CE=CD。3．设ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，M是AC中点，自A点引AE⊥BM于E，且交BC于D，求证：∠AMB=∠CMD。