最小生成树算法详解

最小生成树算法------prim&Kruskal生成树的概念生成树一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。生成树不唯一V3V2V4V1V6V5V3V2V4V1V6V5V3V2V4V1V6V5V3V2V4V1V6V5生成树最小代价生成树生成树的代价等于其边上的权值之和。V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V561654V4V1V3V2V6V512534最小代价生成树两种常用的构造最小生成树的方法：普里姆算法（prim）克鲁斯卡尔算法（Kruskal）普里姆(Prim)算法假设N=(V，E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}(u0∈V)，TE={}开始，重复执行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)中找一条代价最小的边(u0,v0),将其并入集合TE，同时将v0并入U集合。当U=V则结束，此时TE中必有n-1条边，则T=(V，{TE})为N的最小生成树。普里姆算法构造最小生成树的过程是从一个顶点U={u0}作初态，不断寻找与U中顶点相邻且代价最小的边的另一个顶点，扩充到U集合直至U=V为止。V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V512534UV-U｛V1｝｛V2,V3,V4,V5,V6｝步骤(0)｛V1,V3｝｛V2,V4,V5,V6｝(1)｛V1,V3,V6｝｛V2,V4,V5｝(2)｛V1,V3,V6,V4｝｛V2,V5｝(3)｛V1,V3,V6,V4,V2｝｛V5｝(4)｛V1,V3,V6,V4,V2,V5｝｛｝(5)最小代价生成树普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止V4V1V3V2V6V5165V1V31｛V1｝｛V2,V3,V4,V5,V6｝步骤(0)｛V1,V3｝｛V2,V4,V5,V6｝(1)UV-U普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树V4V1V3V2V6V565V1V31｛V1｝｛V2,V3,V4,V5,V6｝步骤(0)｛V1,V3｝｛V2,V4,V5,V6｝(1)V6｛V1,V3,V6｝｛V2,V4,V5｝(2)46554UV-U普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树V4V1V3V2V6V565V4V1V31｛V1｝｛V2,V3,V4,V5,V6｝步骤(0)｛V1,V3｝｛V2,V4,V5,V6｝(1)V6｛V1,V3,V6｝｛V2,V4,V5｝(2)4655｛V1,V3,V6,V4｝｛V2,V5｝(3)262UV-U普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树V4V1V3V2V6V56V4V1V31｛V1｝｛V2,V3,V4,V5,V6｝步骤(0)｛V1,V3｝｛V2,V4,V5,V6｝(1)V2V6｛V1,V3,V6｝｛V2,V4,V5｝(2)465｛V1,V3,V6,V4｝｛V2,V5｝(3)62｛V1,V3,V6,V4,V2｝｛V5｝(4)5UV-U普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树V4V1V3V2V6V5V4V1V31｛V1｝｛V2,V3,V4,V5,V6｝步骤(0)｛V1,V3｝｛V2,V4,V5,V6｝(1)V2V6V5｛V1,V3,V6｝｛V2,V4,V5｝(2)46｛V1,V3,V6,V4｝｛V2,V5｝(3)62｛V1,V3,V6,V4,V2｝｛V5｝(4)5｛V1,V3,V6,V4,V2,V5｝｛｝(5)33UV-U普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止V4V1V3V2V6V5V4V1V31｛V1｝｛V2,V3,V4,V5,V6｝步骤(0)｛V1,V3｝｛V2,V4,V5,V6｝(1)V2V6V5｛V1,V3,V6｝｛V2,V4,V5｝(2)4｛V1,V3,V6,V4｝｛V2,V5｝(3)2｛V1,V3,V6,V4,V2｝｛V5｝(4)5｛V1,V3,V6,V4,V2,V5｝｛｝(5)3UV-U最小代价生成树普里姆(Prim)算法生成树中只放置一个顶点在关联生成树顶点的边中（即边的一个顶点在生成树中，另一个顶点不在）取权值最小者将选中的边加入生成树，同时将该边的关联顶点加入生成树中生成树中顶点数小于n?是否结束开始从键盘（或数据文件）输入图的信息，用普里姆算法求解给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小生成树中的权值和所有的边，图的存储结构自行设定。基本要求例如下图的输出为weight：15(v1,v3)(v3,v6)(v6,v4)(v3,v2)(v2,v5)或者(1,3)(3,6)(6,4)(3,2)(2,5)v2v1655563142v4v3v5v66普里姆算法的实现顶点集合如何表示？最小边如何选择？一个顶点加入U集合（生成树中）如何表示？struct{intadjvex;doublelowcost;}closedge[MAX_VERTEX_NUM];closedge[i].adjvex=kclosedge[i].lowcost顶点i与顶点k邻接顶点k已经在U集合中顶点i加入U集合时=0adjvexlowcostv16v11v15{v1}{v2,v3,v4,v5,v6}3v2v3v4v5v6UV-Uk顶点iclosedgeclosedge[2].adjvex=1.lowcost=6closedge[3].adjvex=1.lowcost=1closedge[4].adjvex=1.lowcost=5V4V1V3V2V6V5165当U集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到U的最小代价边可能会更新V4V1V3V2V6V56512665534U集合的成员：V-U集合的成员：closedge[5].adjvex=1.lowcost=∞closedge[6].adjvex=1.lowcost=∞adjvexlowcostv16v11v15{v1}{v2,v3,v4,v5,v6}3adjvexlowcostv350v15v36v34{v1,v3}{v2,v4,v5,v6}6v2v3v4v5v6UV-Uk顶点iclosedgeV4V1V3V2V6V55564U集合的成员：V-U集合的成员：当U集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到U的最小代价边可能会更新V4V1V3V2V6V56512665534closedge[2].adjvex=3.lowcost=5closedge[4].adjvex=1.lowcost=5closedge[5].adjvex=3.lowcost=6closedge[6].adjvex=3.lowcost=4adjvexlowcostv16v11v15{v1}{v2,v3,v4,v5,v6}3adjvexlowcostv350v15v36v34{v1,v3}{v2,v4,v5,v6}6adjvexlowcostv350v62v360{v1,v3,v6}{v2,v4,v5}4v2v3v4v5v6UV-Uk顶点iclosedgeV4V1V3V2V6V5562V4V1V3V2V6V56512665534当U集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到U的最小代价边可能会更新U集合的成员：V-U集合的成员：closedge[2].adjvex=3.lowcost=5closedge[4].adjvex=6.lowcost=2closedge[5].adjvex=3.lowcost=6adjvexlowcostv16v11v15{v1}{v2,v3,v4,v5,v6}3adjvexlowcostv350v15v36v34{v1,v3}{v2,v4,v5,v6}6adjvexlowcostv350v62v360{v1,v3,v6}{v2,v4,v5}4adjvexlowcostv3500v360{v1,v3,v6,v4}{v2,v5}v2v3v4v5v6UV-Uk顶点iclosedge2V4V1V3V2V6V556当U集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到U的最小代价边可能会更新U集合的成员：V-U集合的成员：V4V1V3V2V6V56512665534closedge[2].adjvex=3.lowcost=5closedge[5].adjvex=3.lowcost=6adjvexlowcostv16v11v15{v1}{v2,v3,v4,v5,v6}3adjvexlowcostv350v15v36v34{v1,v3}{v2,v4,v5,v6}6adjvexlowcostv350v62v360{v1,v3,v6}{v2,v4,v5}4adjvexlowcostv3500v360{v1,v3,v6,v4}{v2,v5}2adjvexlowcost000v230{v1,v3,v6,v4,v2}{v5}v2v3v4v5v6UV-Uk顶点iclosedge5V4V1V3V2V6V53当U集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到U的最小代价边可能会更新V4V1V3V2V6V56512665534U集合的成员：V-U集合的成员：adjvexlowcostv16v11v15{v1}{v2,v3,v4,v5,v6}3adjvexlowcostv350v15v36v34{v1,v3}{v2,v4,v5,v6}6adjvexlowcostv350v62v360{v1,v3,v6}{v2,v4,v5}4adjvexlowcostv3500v360{v1,v3,v6,v4}{v2,v5}2v2v3v4v5v6UV-Uk顶点iclosedgeV4V1V3V2V6V5adjvexlowcost00000{v1,v3,v6,v4,v2,v5}{}adjvexlowcost000v230{v1,v3,v6,v4,v2}{v5}514253U集合的成员：V-U集合的成员：V4V1V3V2V6V56512665534•图采用邻接矩阵表示普里姆算法求最小生成树v2v1655563142v4v3v5v66∞615∞∞6∞5∞3∞15∞5645∞5∞∞2∞36∞∞6∞∞426∞123456123456graph.arac[][]=•#includeiostream•#includealgorithm•#includecstdlib•#defineINIT63355•#defineNUM20•usingnamespacestd;•typedefintElemtype;•typedefstructTnode{•Elemtypevex[NUM];•intarac[NUM][NUM];•intv,e;•}graph;•voidInit_Graph(graph&g){•for(inti=1;i=g.v;i++){•for(intj=1;j=g.v;j++){•g.arac[i][j]=INIT;•}•}•}•voidCreate_Graph(graph&g){•cout输入顶点,边数目:endl;•cing.vg.e;•Init_Graph(g);•cout输入顶点信息:endl;•for(inti=1;i=g.v;i++){•cing.vex[i];•}•cout输入顶点间下标和权值:endl;•intk,t,w;•for(inti=1;i=g.e;i++){•cinktw;•g.arac[k][t]=w;•g.arac[t][k]=g.arac[k][t];•}•}•voidPrim(graph&g){•intmin_cost=0;•intlowcost[NU