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2020春·星湖双师·第13讲·特殊三角形存在性问题1等腰三角形存在性问题知识总结【引例】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），求x轴上一点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．yxOABC5C4C3C2C1yxOAB特殊三角形存在性问题第13讲2同步备考·初三数学·星湖双师·存在性问题以点1C为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又113ACAB==，∴11311223HC=−==，故点1C坐标为()123,0−．类似可求点2C、3C、4C．关于点5C考虑另一种方法．【代数法】点-线-方程表示点：设点5C坐标为(),0m，又A（1,1）、B（4,3），表示线段：()22511ACm=−+()22549BCm=−+联立方程：()()221149mm−+=−+，解得：236m=，故点5C坐标为23,06．C21+23,0()C11-23,0()C1H=C2H=13-1=23作AH⊥x轴于H点，AH=1AC1=AB=4-1()2+3-1()2=13HBAOxyC1C2BAOxyC52020春·星湖双师·第13讲·特殊三角形存在性问题3经典例题【例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2yaxbxc=++交x轴于点(4,0)A−、(2,0)B，交y轴于点(0,6)C，在y轴上有一点(0,2)E−，连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．EABOCDxy4同步备考·初三数学·星湖双师·存在性问题【例2】如图，已知二次函数2yaxbxc=++的图像与x轴相交于(1,0)A−，(3,0)B两点，与y轴相交于点(0,3)C−．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PHx⊥轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．ABOPCMxyH2020春·星湖双师·第13讲·特殊三角形存在性问题5【例3】如图，直线4yx=−+与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线2yxbxc=−++经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM交BC于点D，当PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．ABOPCDMExy6同步备考·初三数学·星湖双师·存在性问题直角三角形存在性问题知识总结【引例】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．【几何法】“两线一圆”（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以2C为例：构造三垂直．yxOABC4C3C2C1yxOAB故C2坐标为（132，0）代入得：BN=32AMBN=MBNC2由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC2=3△易证AMB∽△BNC2MNBAOxyC22020春·星湖双师·第13讲·特殊三角形存在性问题734CC、求法相同，如下：【代数法】点-线-方程不妨来求下1C：（1）表示点：设1C坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示线段：25AB=，()22111ACm=−+，()22153BCm=−+；（3）分类讨论：当1BAC为直角时，22211ABACBC+=；（4）代入得方程：()()2222201153mm+−+=−+，解得：32m=．故a=1或3设MC3=a，C3N=b△易证AMC3∽△C3NB，由A、B坐标得AM=1，BN=3，AMC3N=MC3NB代入得：1b=a3，即ab=3，又a+b=4，故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0）MNBAOxyC3BAOxyC18同步备考·初三数学·星湖双师·存在性问题经典例题【例4】如图，抛物线22yaxbx=++交x轴于点(3,0)A−和点(1,0)B，交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为(1,0)−，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使MNO为等腰直角三角形，且MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．yxOCBA备用图ABCDOPxy2020春·星湖双师·第13讲·特殊三角形存在性问题9【例5】如图，已知抛物线2(0)yaxbxca=++的对称轴为直线1x=−，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C．（1）若直线ymxn=+经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x=−上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴1x=−上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P坐标．-1ABCOxy-1ABCOxy10同步备考·初三数学·星湖双师·存在性问题【思】如图，在平面直角坐标系中，抛物线22yaxxc=++与x轴交于(1,0)A−，(3,0)B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．OyxDCBAOyxDCBA