§4函数的连续性解读

§4函数的连续性1．函数连续的概念一个连续量y随着另一个连续量x连续地变化——连续函数定义3.7设()fx在包含0x的一个开区间有定义．如果0limxx()fx＝0()fx，则称函数()fx在0x是连续的．0x称为()fx的连续点．否则，称0x是()fx的间断点．从定义可见，()fx在0x连续，当且仅当()fx满足下列三个条件：(i)()fx在0x附近有定义，特别是()fx在0x有定义；(ii)极限0limxx()fx存在；(iii)上述极限值恰好为函数值0()fx．对照函数在0x有极限和函数在0x连续：0lim()xxfxA0，0，当||00xx时，有|)(|Axf)()(lim00xfxfxx0，0，当||0xx时，有|)()(|0xfxf两者的差别就只有“一点”等价定义：令0xxx，称为自变量（在0x点）的增量，)()()()()(0000xfxxfxfxfxfy，称为函数（在0x点）的增量当0xx时，有00xxx，于是)(xf在0x是连续)()(lim00xfxfxx0，0，当||0xx时，有|)()(|0xfxf0，0，当||x时，有|)()(|00xfxxf)()(lim000xfxxfx0)]()([limlim0000xfxxfyxx)()0()(lim)0()(lim00000xfxfxfxfxfxxxx)(xf在0x左连续且右连续函数在0x连续定义为0limxx()fx＝0()fx也可以写作0limxx()fx＝(f0limxxx)．这表示，在函数连续的情况下，求极限可以直接把自变量的极限代入，或者说，极限运算0limxx与函数对应法则f可以交换次序．定义3.8设()fx定义在),(ba内，若它在),(ba内的每一点都是连续的，则称()fx在区间),(ba是连续的．设()fx定义在],[ba，若它在),(ba的每一点都连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称()fx在区间],[ba是连续的。半开区间的连续性类似定义。函数的连续性是用极限定义的，而极限前面已研究过。例l试证sinyx在(,)是连续的．证明对任意的0x，0sinx是有意义的，故只需证明0limxxsinx＝0sinx事实上，|sinx－0sinx|＝|20cos2xx0sin2xx|≤2|0sin2xx|≤20||2xx＝0||xx．因此，任意给定0，取，只要0||xx，便有|sinx－0sinx|，这就证明了sinx在0x连续，从而证明了sinx在(,)连续．2．间断点分类根据()fx在0x点连续必须满足的三个条件，间断点0x不外乎下列三种类型：1、可去间断点——极限0limxx()fx存在2、第一类间断点——()fx在0x点的左、右极限都存在但不相等．3、第二类间断点——()fx在0x点的左、右极限至少有一个不存在．(1)可去间断点——极限0limxx()fx存在．（此时不论()fx在0x点是否有定义）例如，函数()fx＝sinxx在0x＝0点有可去间断点．因为0limxxsinxx＝1存在，尽管函数在0x＝0点无定义．又如，函数1sin,0()1,0xxgxxx在0x＝0有可去间断点．因为0limx1sinxx＝0，尽管函数在0x＝0点有定义，但函数值()gx＝1不等于极限值0．对于可去间断点，可以补充定义或修改定义使函数在该点连续．例如，对上面的函数()fx补充定义(0)f＝1，得sin,0()1,0xxfxxx则()fx在0x＝0点连续，而对()gx，修改它在0点的定义为()gx＝0，得1sin,0()0,0xxgxxx则()gx在0x＝0点连续(2)第一类间断点——()fx在0x点的左、右极限都存在但不相等．有时也把这种间断点称为跳跃间断点。例如取整函数()fx＝[]x，limxn()fx＝n，limxn()fx＝1n(3)第二类间断点——()fx在0x点的左、右极限至少有一个不存在。无穷型间断：例如函数1yx，0x＝0是它的第二类间断点，因为0limx1x＝振荡型间断：例如函数xy1sin，在0x＝0点左、右极限都不存在．再考虑狄利克雷函数1,()0,xDxx为有理数为无理数．它在(,)内任一点0x不连续．上面两例都是当0xx时，函数值不断地在两点之间跳动，所以左、右极限均不存在，因此0x是函数的第二类间断点，可去间端点——非本质的，补充或修改定义可使其连续第一类和第二类间断——本质的，不能通过修改函数在该点的值使其成为连续的．第二类间断点可能是无穷型的，也可能是振荡型的．3．连续函数的运算与初等函数的连续性．定理3.13若()fx和()gx都在0x点连续，则()()fxgx、()()fxgx、()()fxgx(0()0gx)也在0x点连续．证由极限的四则运算法则立得。定理3.13（复合函数的连续性定理）若函数()fu在0u点连续，()ugx在0x连续，且0u＝0()gx，则复合函数(())fgx在0x点连续．证明由()fu在0u点连续，知对任给0，存在0，当0||uu时，有0|()()|fufu又由()ugx在0x点连续和0u＝0()gx，知对上述0，存在0，当0||xx时，有0||uu＝0|()()|gxgx.因此，当0||xx时，有0|(())(())|fgxfgx这就证明(())fgx在0x点连续。下面我们证明本章的一个重要定理.定理3.15初等函数在其定义域内是连续的。证明思路：由初等函数的定义，若基本初等函数在定义域连续，且经过有限次四则运算、复合运算后仍连续，则初等函数在定义域内连续。图表1基本初等函数连续性的证明思路和顺序见图表2。其中反三角函数和对数函数的连续性，利用了反函数的连续性。为证明反函数的连续性，我们用实数连续性定理先证明了一个闭区间上连续函数的重要定理——介值定理，在这个基础上证明反函数的连续性。连续函数定义四则运算反函数的连续性复合函数连续性连续函数定义复合函数连续性反函数的连续性闭区间上连续函数介值定理连续函数的四则运算初等函数连续性实数连续性定理cyxysinxycosxayxyarcsinxyarccosxyarctanxarcycotxyalogxytanxycotxy区间套定理图表2定义3.10设一组实数的闭区间序列,nnab，n＝l，2，…，满足：（i）11,,nnnnabab，n＝1，2，…；(ii)lim0nnnba，则称]},{[nnba构成一个区间套．]},{[nnba是一个区间套，意指每一个区间都包含下一个区间(一个套一个)，且区间长度的极限为0．定理3.16(区间套定理)设]},{[nnba是一个区间套，则必存在唯一的实数r，使得r包含在所有的区间里，即1],[nnnbar．证明用单调有界序列有极限存在的定理来证明．事实上，已知}{na是单调上升有上界1b，}{nb是单调下降有下界1a，即任意n有1111bbbaaannnn，因此}{na，}{nb均有极限存在，记1limrann．2limrbnn．由于0limlim)(lim12rrababnnnnnnn，知21rrr.下证1],[nnnbar。对任意n，由于)(nmbaammn，令m取极限，得rbammnlim.同理，在不等式)(nmbbanmm中令m取极限，得nmmbarlim.这就证明了对任意n，有nnbra，即1],[nnnbar.最后证明唯一性．若有rr,满足1],[nnnbar，1],[nnnbar，则)(0||nabrrnn故rr.即这样的r是唯一的．定理3.16证完．定理的证明表明，区间套“套出”的这一个点，它同时是na，nb的极限limlimnnnnrab.这一点以后用区间套定理时会经常用到．注：区间套中闭区间不能改为开区间，否则定理未必成立。例如，取1,0,nnabn，则1,nnnab.定理3.17（连续函数介值定理）若()fx在[,]ab连续，不妨设()()fafb，则对任意c[(),()]fafb，存在[,]ab，使得()f＝c证明用区间套定理．只要证：若)(xf在],[ba连续，且0)(af，0)(bf，则存在],[ba，使得0)(f．否则，只要令cxfxg)()(即可．记],[],[11baba，则0)(1af，0)(1bf二等分],[11ba，分点为1c，若0)(1cf，则定理证完。否则，若0)(1cf，则取],[],[1122bcba，若0)(1cf，则取],[],[1122caba；则0)(2af，0)(2bf二等分],[22ba，分点为2c，…．如此继续下去，或者经有限步后，某kc使得0)(kcf，则定理证完；或者得一区间套]},{[nnba，对任意n，0)(naf，0)(nbf．根据区间套定理，知存在唯一的实数1],[nnnba，这时有nnnnbalimlim．由],[ba，而)(xf在连续，知0)(lim)(nnaff，0)(lim)(nnbff故0)(f，定理3.17证完．证法2用戴得金实数连续性定理。令()gx＝()fxc，则()gx在[,]ab连续，且()ga0，()gb0，只要证存在[,]ab,使()g＝0。当()ga＝0或()gb＝0时，取＝a或＝b即可，现设()ga0.()gb0。先将()gx延拓为整个实轴上的连续函数(),()(),[,](),gaxaFxgxxabgbxb再令A{x|满足()Fx0}\BRA则|AB是实数R的一个分划。事实上aA且bB，即,AB不空；由,AB的构造显然不漏；任意A，B，我们来证明，用反证法，如果不然，设，由A知，x满足()0Fx，这时x且()0Fx，因此A，这与,AB的构造矛盾，故必有，即,AB不乱，可见|AB的确是R的一个分划。由实数基本定理，存在R，对任意A，B，有。注意到aA，bB，知[,]ab。下面证明()F＝()g＝0，令nxn1，nyn1，,2,1n则()nFy0且limnny＝。由()Fx的连续性得limn()nFy＝()F0又由Axn，知nnxx且(')nFx0，显然此时有nnxx，因为limnnx＝，故limn'nx＝，由()Fx的连续性得limn(')nFx＝()F0故()F＝0，从而()g＝0，定理3.16证完。定理表明，若函数()yfx连续，则当自变量x从a连续地变到b时，因变量y从()fa连续地变到()fb，其中经过()fa与()fb之间的一切中介值，因此把这个定理称为介值定理，这显然符合我们对连续函数的直观认识。定理3.17(反函数连续性)若()yfx在[,]ab连续且严格单调上升，记＝()fa，＝()fb，则()yfx的反函数1()xfy在[,]严格单调上升且连续．证明设()yfx在[,]ab严格单调上升，则反函数1()xfy存在，且严格单调上升．由)(xf在[,]ab严格单调上升，则＝()fa)()(bfxf，],[bax又()yfx在[,]ab连续及介值定