经典计量经济学模型(放宽基本假定的问题)

经典计量经济学模型放宽基本假定的问题2020/5/281第一节异方差•一、异方差的概念•二、异方差的来源与后果•三、异方差性的检验•四、异方差的修正•五、案例2020/5/282对于模型ikikiiiiXXXY2210如果出现Varii()2即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。一、异方差的概念2020/5/283一般情况下:对于模型Y=X+u存在Wμμμμ2)()(0)(ECovEW即存在异方差性。2020/5/284。同方差性假定：i2=常数f(Xi)异方差时：i2=f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：(1)单调递增型：i2随X的增大而增大(2)单调递减型：i2随X的增大而减小(3)复杂型：i2与X的变化呈复杂形式2020/5/2852020/5/286二、异方差的来源与后果例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Yi=0+1Xi+μiYi:第i个家庭的储蓄额Xi:第i个家庭的可支配收入高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小μi的方差呈现单调递增型变化2020/5/2872020/5/2882020/5/289例2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：Ci=0+1Yi+I将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。2020/5/2810例3以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Yi=Ai1Ki2Li3ei被解释变量：产出量Y解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。2020/5/2811异方差的后果计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：1、参数估计量非有效OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性因为在有效性证明中利用了E(’)=2I而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。2020/5/28122020/5/28132、无偏性βμXXXβμXβXXXYXXXβ11)()())()(())(()ˆ(1EEEE这里利用了假设:E(X’)=03、有效性（最小方差性）2020/5/2814其中利用了YXXXβ1)(ˆμXXXβμXβXXX11)()()(和Iμμ2)(E2、变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t统计量其他检验也是如此。2020/5/28153、模型的预测失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。§2020/5/2816三、异方差检验–检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。2020/5/2817问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法是:•首先采用OLS方法估计模型,得到随机误差项的估计值(注意:该估计量是不严格的),于是有:•即用残差项的平方代表随机误差项的方差.iiiiiiYYeeEVar^22)()(几种异方差的检验方法：1、图示法（1）用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）2020/5/2819使用X—e的散点图看是否形成一斜率为零的直线~ei2~ei2XX同方差递增异方差~ei2~ei2XX递减异方差复杂型异方差2020/5/2820．2、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。2020/5/28212020/5/2822G-Q检验的步骤：①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和2020/5/2823④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量)12,12(~)12(~)12(~2122kcnkcnFkcnekcneFii⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)，若FF(v1,v2)，则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。2020/5/28243、怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：iiiiXXY22110先对模型作OLS回归,得到残差项,然后做如下辅助回归iiiiiiiiXXXXXXe215224213221102~可以证明，在同方差假设下：(*)R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，表示渐近服从某分布。2020/5/2825注意：辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。2020/5/2826四、异方差的修正1、模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）进行估计。加权最小二乘法的基本思想：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。在采用OLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。21102)]ˆˆˆ([kkiiiiXXYWeW2020/5/2827例如，如果对一多元模型，经检验知：222)()()(jiiiiXfEVarijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1ijikijikXfXXf)(1)(1新模型中，存在222)()(1))(1())(1(ijiijiijiEXfXfEXfVar即满足同方差性，可用OLS法估计。2020/5/2828一般情况下:对于模型Y=X+u存在Wμμμμ2)()(0)(ECovEW即存在异方差性。2020/5/2829W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得W=DD’用D-1左乘Y=X+u两边，得到一个新的模型：μDXβDYD111***μβXY该模型具有同方差性。因为2020/5/2830IDDDDWDDDEDDDEE21''21'121'1'1'1'1'**)()()(**1***)(ˆYXXXβYWXXWXYDDXXDDX11111111)()(这就是原模型Y=X+u的加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量。这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项u的方差-协方差矩阵2W。2020/5/2831如何得到2W？从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项的方差-协方差矩阵。因此仍对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量ěi，以此构成权矩阵的估计量，即2212~~ˆneeW这时可直接以|}~|/1,|,~|/1|,~|/1{211neeediagD作为权矩阵。2020/5/2832注意：在实际操作中人们通常采用如下的经验方法：不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法2020/5/28332.仍采用OLS法估计系数，但采用OLS估计量标准误差的异方差性一致估计值代替其OLS估计值怀特（H.White）提出的产生OLS估计量的异方差性一致标准误差的方法，为解决异方差性问题提供了另一种途径。怀特的贡献是解决了异方差性造成系数的置信区间和假设检验结果不可信赖的问题，该后果是由于方差的OLS估计量不再是无偏估计量而造成的。.•White得出在存在未知形式的异方差时，对系数协方差进行正确估计的异方差一致协方差估计量。White协方差矩阵公式为：•其中N是观测值数，k是回归变量数，ûi是最小二乘残差。•EViews在标准OLS公式中提供White协方差估计选项。打开方程对话框，说明方程，然后按Options钮。接着，单击异方差一致协方差(HeteroskedasticityConsistentCovariance)，选择White钮，接受选项估计方程。1121)(ˆ)(ˆXXxxXXΣNiiiiWukNN.•前面描述的White协方差矩阵假设被估计方程的残差是序列不相关的。Newey和West(1987)提出了一个更一般的估计量，在有未知形式的异方差和自相关存在时仍保持一致。Newey-West估计量为：•其中11)(ˆ)(ˆXXΩXXΣNWNtqvNviiiviviviviiitttuuuuqukNN1112))ˆˆˆˆ(11ˆˆxxxxxxΩ这类估计量的性质不是“最好”，但它们对于某些假设条件（在这里是同方差性）的违背不敏感，这类的估计量称为稳健估计量（robustestimators）。与我们前面介绍的FGLS法相比，本段介绍的解决异方差性的方法的优越之处在于，不需要知道异方差性的具体形式。因此，在异方差性的基本结构未知的情况下，建议仍采用OLS法估计系数，而采用其方差的稳健估计量，如怀特的异方差性一致估计量。五、案例分析例.某地个人储蓄Y，个人可支配收入X。根据经济理论建立计量经济模型2020/5/28382020/5/2839图形检验2020/5/28402020/5/2841进一步的统计检验(1)G-Q检验将原始数据按排成升序，去掉中间的9个数据，得两个容量为11的子样本。对两个子样本分别作OLS回归，求各自的残差平方和RSS1和RSS2：子样本1：子样本2：Y=0.08825777732*X-744.6350676∑e2=150867.9Y=0.05302080804*X+412.9793256∑e2=958109.42020/5/2842计算F统计量：F=RSS2/RSS1=958109.4/150867.9=6.35查表给定=5%，查得临界值F0.05(9,9)=3.18判断FF0.05(9,9)否定两组子样方差相同的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性。2020/5/2