概率论公式大全

考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月1一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°对于两两互不相容的事件1A，2A，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(iiiiAPAPΥ常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。（2）古典概型（等可能概型）1°{}nωωωΛ21,=Ω，2°nPPPn1)()()(21===ωωωΛ。设任一事件A，它是由mωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21mωωωΥΛΥΥ=)()()(21mPPPωωω+++Λnm=基本事件总数所包含的基本事件数A=2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B⊂A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1-P(B)（3）条件概率和乘法公式定义设A、B是两个事件，且P(A)0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。（4）全概公式设事件nBBB,,,21Λ满足1°nBBB,,,21Λ两两互不相容，),,2,1(0)(niBPiΛ=，2°ΥniiBA1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+++=Λ。此公式即为全概率公式。（5）贝叶斯公式设事件1B，2B，…，nB及A满足1°1B，2B，…，nB两两互不相容，)(BiP0，=i1，2，…，n，2°ΥniiBA1=⊂，0)(AP，则∑==njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1=i，2，…，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1=i，2，…，n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而1B，2B，…，nB理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。3、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP=，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP===所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。（证明）同时，Ø与任何事件都互斥。（2）多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月2P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。两两互斥→互相互斥。两两独立→互相独立？（3）伯努利试验定义我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp=−1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk≤≤次的概率，二.随机变量及其分布1、随机变量的分布函数（1）离散型随机变量的分布率设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：ΛΛΛΛ,,,,,,,,|)(2121kkkpppxxxxXPX=。显然分布律应满足下列条件：（1）0≥kp，Λ,2,1=k，（2）∑∞==11kkp。（2）分布函数对于非离散型随机变量，通常有0)(==xXP，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X，0)(0==xXP。所以我们考虑用X落在某个区间],(ba内的概率表示。定义设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF≤=称为随机变量X的分布函数。)()()(aFbFbXaP−=≤可以得到X落入区间],(ba的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。分布函数)(xF是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。)(xF的图形是阶梯图形，Λ,,21xx是第一类间断点，随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。分布函数具有如下性质：1°,1)(0≤≤xF+∞∞−x；2°)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有≤)(1xF)(2xF；3°0)(lim)(==−∞−∞→xFFx，1)(lim)(==+∞+∞→xFFx；4°)()0(xFxF=+，即)(xF是右连续的；5°)0()()(−−==xFxFxXP。（3）连续型随机变量的密度函数定义设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有∫∞−=xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。)(xf的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。所以，)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP−==≤=≤=≤≤密度函数具有下面4个性质：1°0)(≥xf。2°∫+∞∞−=1)(dxxf。考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月31)()(==+∞∫+∞∞−dxxfF的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于1。如果一个函数)(xf满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。3°)(21xXxP≤＝)()(12xFxF−＝∫21)(xxdxxf。4°若)(xf在x处连续，则有)()(xfxF=′。dxxfdxxXxP)()(≈+≤它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP==)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。)(),(,独立性古典概型，五大公式，APAE→→Ω→ω)()()()(xXPxFxXX≤=→≤→ωω对于连续型随机变量X，虽然有0)(==xXP，但事件)(xX=并非是不可能事件Ø。∫+=+≤≤=hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0→h，则右端为零，而概率0)(≥=xXP，故得0)(==xXP。不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。2、常见分布①0－1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q②二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,,2,1,0Λ。knkknnqpkPkXPC−===)()(，其中nkppq,,2,1,0,10,1Λ=−=，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(~pnBX。nknkknnnnnpqpqpnpqqkXPXCC,,,,,,|)(2221ΛΛ−−−=容易验证，满足离散型分布率的条件。当1=n时，kkqpkXP−==1)(，1.0=k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。③泊松分布设随机变量X的分布律为λλ−==ekkXPk!)(，0λ，Λ2,1,0=k，则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λπX或者P(λ)。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。④超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM==•==−−Λ随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布。⑤几何分布Λ,3,2,1,)(1===−kpqkXPk，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布。⑥均匀分布设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数)(xf在[a，b]上为常数k，即⎩⎨⎧=,0,)(kxf其他，其中k=ab−1，则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为0，xa，,abax−−a≤x≤ba≤x≤b考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月4∫∞−==xdxxfxF)()(当a≤x1x2≤b时，X落在区间（21,xx）内的概率为P(∫∫−==21211)()21xxxxabdxxfxXxabxxdx−−=12。⑦指数分布设随机变量X的密度函数为其中0λ，则称随机变量X服从参数为λ的指数分布。X的分布函数为记住几个积分：,10=∫+∞−dxxex,202=∫+∞−dxexx)!1(01−=∫+∞−−ndxexxn∫+∞−−=Γ01)(dxexxαα，)()1(αααΓ=+Γ⑧正态分布设随机变量X的密度函数为222)(21)(σµσπ−−=xexf，+∞∞−x，其中µ、0σ为常数，则称随机变量X服从参数为µ、σ的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(~2σµNX。)(xf具有如下性质：1°)(xf的图形是关于µ=x对称的；2°当µ=x时，σπµ21)(=f为昀大值；3°)(xf以ox轴为渐近线。特别当σ固定、改变µ时，)(xf的图形形状不变，只是集体沿ox轴平行移动，所以µ又称为位置参数。当µ固定、改变σ时，)(xf的图形形状要发生变化，随σ变大，)(xf图形的形状变得平坦，所以又称σ为形状参数。若),(~2σµNX，则X的分布函数为dtexFxt∫∞−−−=222)(21)(σµπσ。。参数0=µ、1=σ时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(~NX，其密度函数记为2221)(xex−=πϕ，+∞∞−x，分布函数为dtexxt∫∞−−Φ2221)(π。)(xΦ是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。φ(x)和Φ(x)的性质如下：1°φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；2°当x=0时，φ(x)＝π21为昀大值；3°Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝21。如果X~),(2σµN，则σµ−X~)1,0(N。所以我们可以通过变换将)(xF的计算转化为)(xΦ的计算，而)(xΦ的值是可以通过查表得到的。⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ=≤σµσµ1221)(xxxXxP。分位数的定义3、随机变量函数的分布随机变量Y是随机变量X的函数)(XgY=，若X的分布函数)(xFX或密度函数)(xfX知道，则如何求出)(XgY=的分布函数)(yFY或密度函数)(yfY。（1）X是离散型随机变量已知X的分布列为ΛΛΛΛ,,,,,,,,)(2121nnipppxxxxXPX=，显然，)(XgY=的取值只可能是ΛΛ),(,),(),(21nxgxgxg，若)(ixg互不相等，则Y的分布列如下：ΛΛΛΛ,,,,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY=，1，xb。=)(xf,xeλλ−0≥x,0,0x,=)(xF,1xeλ−−0≥x,,0x0。考研数学知识点-概率统计Editedby杨凯钧2005年10月5若有某些)(ixg相等，则应将对应的iP相加作为)(ixg的概率。（2）X是连续型随机变量先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。三.二维随机变量及其分布1、二维随机变量的基本概念（1）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量),(YX=ξ，如果存在非负函数),)(,(+∞−∞+∞−∞y