流体力学-第二章-流体静力学

第二章流体静力学流体静力学:研究平衡流体的力学规律及其应用平衡流体互相之间没有相对运动粘性无从显示■平衡流体上的作用力■流体的平衡微分方程■重力场中流体的平衡■静压强的计算与测量■平衡流体对壁面的作用力■液压机械的工作原理■液体的相对平衡2.1平衡流体上的作用力1.质量力：作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比重力惯性力单位质量力重力gmmgfzkjiazyxmfff微团质量力的合力为kjiaFzyxmmfffmmkjiaFzyxmmfffdmdmd作用在微团△V上的力可分为两种：质量力表面力AAF0lim2.表面力：外界对所研究流体表面的作用力，作用在外表面，与表面积大小成正比应力切线方向：切向应力——剪切力内法线方向：法向应力——压强AFlimpnA0AFA0limΔFΔAΔFnΔFτ表面力具有传递性流体相对运动时因粘性而产生的内摩擦力AFpA0lim3.流体的静压力：表面力沿受压表面内法线方向分量平衡状态静压力特征a.静压强方向沿作用面的内法线方向N/m2（Pa）反证法流体静压强0F0)cos(0xnxxFxnPPF质量力xFyFzF表面力证明：取微小四面体O-ABCxPyPzPnPb.任一点静压强的大小与作用面的方位无关061)cos(21dxdydzfxnABCpdydzpxnxdydz21031dxfppxnx0dxnxppnzyxpppp),,(zyxpp与方位无关与位置有关dzzpdyypdxxpdpp的全微分2.2流体的平衡微分方程左P右PdxdydzfFxxd1.流体平衡微分方程由泰勒展开，取前两项：质量力：0xF0xFPP右左dydzdxxpp21dydzdxxpp21用dx、dy、dz除以上式，并化简得同理01xpfx01ypfy01zpfz——欧拉平衡微分方程01pf（1）（2）（3）02121dxdydzfdydzdxxppdydzdxxppx0xFPP右左说明:1质量力与该方向上表面力的合力相等，方向相反2平衡流体受哪个方向的质量力，则流体静压强沿该方向必然发生变化3平衡流体在哪个方向没有质量力，则流体静压强沿该方向不发生变化2.质量力的势函数(4)对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得dpdzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyx）（yfzfzyxfyfyxzfxfxz——力作功与路径无关的充分必要条件必存在势函数W，力是有势力将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加dzzWdyyWdxxWdW（4）式可写为：dpdWdzzWdyyWdxxWxfxWyfyWzfzW——力与势函数的关系——将上式积分，可得流体静压强分布规律等压面性质：•等压面就是等势面与大气接触的自由表面当然也是等压面，在受其他质量力作用下不一定是水平面•等压面与质量力垂直•两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面3.等压面：dp=0（4）式可写为：0dzfdyfdxfzyxsasammdd0——广义平衡下的等压面方程gfzgdzdzfdpzcgzp积分写成水头形式：1.不可压缩流体的静压强基本公式单位m——单位重量能量czgpzgp22112.3重力场中的平衡液体或写成cgzpgzp2211单位Pa物理意义：平衡流体中物体的总势能是一定的p/ρg——单位重力压强势能——压强水头z——单位重力位置势能——位置水头压强分布规律的最常用公式：ghpzzgpp000——帕斯卡原理（压强的传递性）00gzpgzp适用范围：1.重力场、不可压缩的流体2.同种、连续、静止一.静压强的计算标准a.绝对压强以绝对真空为零点压强pa——当地大气压强maappghpppaAh2.4静压强的计算与测量b.计示压强（表压）pmc.真空度pv以当地大气压强为零点压强ghpppampppav注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！pv例题：如图，敞开容器内注有三种互不相混的液体，，求侧壁处三根测压管内液面至容器底部的高度h1、h2、h3。m62)22(3113hggh，得mhgggh6.5/2422)2(2122122，得mhggggh88.4/222222321132131）（，得32218.08.0，解：由连通器原理，列等压面方程二.静止压强的计量单位工程大气压（at）=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）标准大气压（atm）=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O换算：1kPa=103Pa1bar=105Pa1.测压管pgh一端与测点相连，一端与大气相连三．静压强的测量2.U形管测压计例求pA（A处是水，密度为ρ，测压计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面ghgapA'gahpA'例求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的水）解：ghpA'气柱高度不计一端与测点相连，一端与大气相连3.压差计例求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面hgphgp'21hgppp'21Δh12ρρ’两端分别与测点相连例求Δp（管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为ρ’的水）解：hgpp'21hgppp'21Δh12ρ’4.微压计sin1glghpnhlsin1（放大倍数）a.总压力2.5平衡流体对壁面的作用力pdAdFghdAdAgysin一、平板壁上的流体静压力AydAgdFFsinAyydAcA——受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）注意：h与y的区别ApAghAygcccsinb.压力中心dFydM力矩合成DFydFydMMDCAyghghdAyDCAyydAyysinsinDCAyydAy2AyIAydAyyCxCD2dAyIx2——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）平行轴定理AyIICCx2AyAyIyCCCD2CCCCyAyIy常见图形的yC和IC图形名称矩形三角形CyCI2h312hbh32336hb梯形圆半圆babah23bababah2234362d464dd32421152649d例题：直径为1.25m的圆板倾斜地置于水面之下，其最高、最低点到水面距离分别为0.6m和1.5m，求水作用在圆板上的总压力大小和压力中心位置。解：水作用在圆板上的总压力大小kNAghPc63.12225.12)6.05.1(8.92myc675.89.025.16.0225.1mDRAyIyycccD53.1067.0675.84675.84675.824因压力中心位置例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时，求作用于此盖板的水静压力及作用点解：设想打开封闭容器液面上升高度为mgPPa4807.907.9837.137060°p01m2mo4mymyC6.61160sin44333.13412mhbICCCCCDymAyIyy65.605.06.646.633.16.6mhC73.560sin114kNAghPC22560°o4myCD二、柱面壁上的流体静压力AxAz1.总压力的大小和方向（1）水平方向的作用力xxghdAghdAdFdFcoscosxCxCAxxxApAghhdAgdFFx大小、作用点与作用在平面上的压力相同FxAzAxAxAz（2）垂直方向的作用力zzghdAghdAdFdFsinsinFAzzzgVhdAgdFFz作用点通过压力体体积的形心VF——压力体体ρgVF——压力体重量AzAxFzAxAz（3）合作用力大小22zxFFF（4）合作用力方向与水平面夹角xzFFtanθFFxFz三.压力体压力体由以下各面围成：（a）曲面本身；（b）通过曲面周界的铅垂面；（c）自由液面或者延续面压力体曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积OOOAAABBBabcpapapa实压力体：压力体和液体在曲面同侧，垂直分力向下虚压力体：压力体和液体在曲面异侧，垂直分力向上四浮力原理abcdfgzxoaFpz1Fpz2acbfgadbfgpVVV总压力的垂直分力为adbcppzgVgVF例题：如图为一溢流坝上的弧形闸门ed。已知：R=8m，门宽b=4m，α=30º，试求：作用在该弧形闸门上的静水总压力。解：闸门所受的水平分力为Fx，方向向右即：kNRbRAghFxcx8.940sinsin2148.9闸门所受的垂直分力为Fz，方向向上闸门所受水的总压力总压力的方向kNRRRRRbgVFFz7.281cos4sincos21360308.92kNFFFzx9822217arctanxzFF例题：如图，圆柱闸门长L=4m，直径D=1m，上下游水深分别为H1=1m，H2=0.5m，试求此柱体上所受的静水总压力。解：闸门所受的水平分力为上下游水对它的水平作用力的代数和，方向向右kNAgHAgHFxcxcx7.1445.025.0415.08.92211闸门所受的垂直分力Fz方向向上闸门所受水的总压力总压力与水平夹角kNLDgVFz09.232438.92kNFFFzx37.272258arctanxzFFdzfdyfdxfdpzyxafx0,0,0ppzx1.等加速直线运动容器内液体的相对平衡在自由面：边界条件：等压面是倾斜平面xzppgdzadxdp000gzaxpp0xgaz0ppogaxz2.7液体的相对平衡a重力（－g）惯性力（－a）由gZfy,0（惯性力）液体质点彼此之间没有相对运动，但盛放液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强解：gzaxpa=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入OmH.gp2151注意坐标的正负号aoBzx例一盛有液体的容器，沿与水平面成α角的斜坡以等加速度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡，液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律解：cosafxgafzsindzgadxadpzxp000sincosgzazaxpsincos注意：坐标的方向及原点的位置dzfdxfdpzx2.等角速度旋转容器中液体的相对平衡zrogω2rgdzrdrdzfdrfdpzr