矩形的性质

1矩形的性质矩形的特征边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称中心对称基础题知识点1矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是()A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是()A．8B．6C．4D．24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°5．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是()A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm6．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是．7．如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，则BD＝．第7题图第8题图8．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．9．(2016·岳阳)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.2知识点2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，D为AB的中点，则CD＝cm.第10题图第11题图11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝5cm.12．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，求HF的长.02中档题13．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD中(ADAB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是()A．△AFD≌△DCEB．AF＝12ADC．AB＝AFD．BE＝AD－DF第13题图第14题图第15题图第16题图14．(2016·绵阳)如图，▱ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为()A．3cmB．4cmC．5cmD．8cm15．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是()A．18°B．36°C．45°D．72°16．(2016·宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A．4.8B．5C．6D．7.217．(2017·广西四市同城)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．318．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE.求证：(1)四边形ADBE是平行四边形；(2)若AB＝4，OB＝52，求四边形ADBE的周长．03综合题19．如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为25cm.如图5,矩形ABCD中，M是CD的中点.求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA.5.如图6,四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果__________________，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.41.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．(2)(3)2.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．3.如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．4.如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC，若对角线AC=6cm，则周长=，面积=。5.矩形的对角线的夹角为600,较短的边长为12cm,则对角线长为cm.6.矩形ABCD的周长是14cm，对角线相交于O，ΔAOD与ΔAOB的周长的差是1cm，那么这个矩形的面积是______。7．（2017重庆）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。8．（09青岛）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOB=60o，AB=4cm，则AC的长度为cm。9．（09湖州）已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线折叠，若∠ADC’=20o，则∠BDC=o。10．上图中，线段PB、PD的数量关系：。11．上题中，若AB=3cm，BC=4cm，则点A与C’之间的距离是cm。12．（09河南）动手操作：在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点P、Q分别在分别在AB、AD上移动，沿PQ折叠使点A落在BC上A’处，则点A’在BC上移动的最大距离是。13．在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若AB=3，BC=4，则DE长为。14．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为AB上一个动点，作PM⊥AC于M，作PN⊥BD于N，那么PM+PN的值是（填“定值”或“变量”），若是定值，则PM+PN=。二选择题：1.如图，EF过矩形对角线的交点O，且分别交ABCD于EF，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A.51B.41C.31D.1032.如图,在矩形ABCD中,∠AOB=120°,AD=3,则AC为()A.1.5B.3C.6D.9yxPDCBAOABCDOABCD'CPADCBPQ'AABCDOPMNBADCO53.（2016河池）如图6，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）Ａ．75Ｂ．125Ｃ．135Ｄ．1454.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）A．1B．2C．2D．35.将矩形纸片ABCD（图3－1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图3－2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3－3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（）图3－1图3－2图3－3（A）60°（B）67.5°（C）72°（D）75°6.(2015年绥远）如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=3,AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF,EC交于点H，下列结论中：①AF=FH;②BO=BF;③CA=CH;④BE=3ED,正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④7.．顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH成为矩形的是()A、AB=CDB、AC=BDC、AC⊥BDD、AD∥BC8.（09深圳）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，AC=10，则DE长（）A．3B．5C．25D．25ODABC图6ADBCEFPODABCEFABCDFEOABCD图2图1OFEHDABCABCDEO6EOABCD三．解答题1.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于E，试说明AC＝CE。(2017·荆州)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长.图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAD.若∠EAO=15°，求∠BOE的度数.7如图5，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处．（1）说明：BEBF；（2）设AEaABbBFc，，，试猜想abc，，之间有何等量关系，并给予证例1、如图，矩形纸片ABCD，连接AC，且AC=54，若AD:AB=1:2，将纸片折叠使B与D重回，求折叠后纸片重和部分的面积。.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.ABCDFABE图2C'EFoCABD8已知，点O为矩形ABCD的对称中心，过O点的直线L交直线AD于M，ON⊥OM交直线DC于N，连MN，现将直线L绕点O顺时针旋转。（1）如图1，当点M、N分别在边AD、CD上时，AM2、MN2、CN2之间的数量关系为；（2）如图2，当点M、N分别在边AD及CD的延长线上时，请写出AM2、MN2、CN2之间的数量关系式，并予以证明。（3）如图3，当点M、N分别在边AD、DC的延长线上时，（2）中结论是否仍成立？若成立，请直接写出其关系,并予以证明，若不成立，请说明理由。7.一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.（1）求证:AB⊥ED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明.9(本大题满分14分)如图，ABCD是矩形纸片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形．（2）若4cmAB，3cmBC，求线段EF的长．．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE＝2cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？(2017·鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．HFGCBEADNMDCBA106．(2017·济宁)(教材P64“活动1”的变式)实验探究：(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；(2)将图1中的三角纸纸片BMN剪下，如图2.折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，并结合方案证明你的结论．图1图2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm.点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？11如图①，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，将矩形沿OB折叠，点A落在点D处，OD交CB于点E，点B的坐标（8，4）．（1）求S△O