地震灾后物资分配优化模型

12011年南京理工大学数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛（报名）队号为：17参赛组别（研究生或本科）：本科参赛队员(先打印,后签名,并留联系电话)：打印签名联系电话队员1（队长）：张杰队员2：李晶队员3：胡雪瑶22011年南京理工大学数学建模竞赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：32011年南京理工大学数学建模竞赛题目地震灾后物资分配优化模型摘要本文研究了在地震发生后对各灾区进行物资合理分配的问题。针对问题我们首先利用层次分析法确定了各个灾区对各种物资的相对急需程度，记为ija。其次，我们根据救灾物资分配使所有灾区整体效用最高的原则，引入符号：ijx,—第i个灾区对所需的第j种物资的实际分配量，jC—第j种物资的可供分配总量，构建了以整体效用为目标函数的整数规划模型及约束条件：MAX11IJijijijaxS.T.1IijjixC，然后利用LINDO软件进行数据处理与求解，在求解过程中我们考虑到每个灾区对每种物资的最低保障量ijM和满意度，于是引入满意度系数，记为ijijxT以及最低保障量的约束条件得到以整体满意度为目标函数的整数规划模型及约束条件：MAX11IJijijijxTS.T.ijijijMxT其中ijT—第i个灾区对第j种物资的需求量，最后利用多目标规划法对两个目标函数进行优化：MAX111IJijijijax+211IJijijijxTS.T.1IijjixC，ijijijMxT。其中1，2为各单目标函数修正系数，旨在修正两目标函数因目标数值不在同一数量级上产生的差异。随后我们用汶川地震的相关数据对模型进行实际算例，证明了模型是可操作的。同时，我们还讨论了当应急物资重要性不同时的改进模型并对灾情发生变化或在物资分发过程中存在的接受意愿、歧视等主观因素进行了定性的分析，使模型更加全面、科学、合理。最后，我们对模型进行了优缺点总结及合理推广。关键词：物资分配、层次分析法、满意度系数、整数规划、多目标规划4一、问题重述近年来地震频发，其预测目前比较困难但在灾后如能及时救援，可以很大程度减少伤亡，其中救援物资分配非常关键。但在物资分配中实际存在着诸多问题，例如：智利在震后救援物资的分配上严重不均，日本大地震中已经躲过大地震和海啸的灾民因得不到及时的物资分配而在避难所死亡等，因此研究地震灾害后的物资分配问题是具有现实意义的，请从以下方面来考虑物资分配的问题：1、考虑灾区、受灾者和物资的不同，建立数学模型制定分配原则并给出合理的分配方法。2、收集各类实际数据，给出一个符合题意的数值算例。3、通过以上分析，给出你的量化优化方案及建议。在考虑本本题时，还需注意一些问题：1、受灾者的灾情不同，对生活物资的急需程度和需求量不同。而且各地的灾情在不断发生变化，如何优化方案应对这种变化。2、生活物资应当根据受灾区域大小、受灾程度、人口密度、灾区群众需求进行分配，保证重点，确保及时、快捷、公开、高效、公平、公正发放。严禁物资发放中的优亲厚友、性别歧视、年龄歧视和孤残歧视行为，在保障需求的同时，避免浪费。3、数值算例最好采用实际数据，且尽量提高数据容量。4、可以考虑线性规划、整数规划、多目标规划等各类优化模型。5、分配中有很多主观因素，例如：接受意愿、歧视等，这些因素能否考虑到模型中。二、问题分析在救灾物资的分配过程中，考虑到物资的流动性与多样性等特点，影响救灾物资的分配效果的因素是众多的，总的来说，灾区对物资的相对急需程度是非常重要的一个因素，如果能够按照各灾区对各种物资的相对急需程度来合理分配物资，那么救灾的效果也就越好，因此如何确定各灾区对各物资的相对急需程度及如何构造效用函数是核心问5题。根据以上问题的特点我们用层次分析法确定物资相对急需程度，用整数规划法构造目标函数建立了基础模型。但是我们通过数学分析和进一步的考虑发现了基本模型存在着为达到目标函数最大化而牺牲了对物资相对急需程度较小的灾区的利益的问题，于是我们引进了各灾区对各种所需物资的最低保障量作为约束条件的下线。同时我们也意识到我们忽略了各灾区对各种物资分发的满意度的研究，因为满意度是物资的实际分配量与物资的需求量的比值，满意度系数越大，所得分配的满意程度也就越大，则救灾的效果也就越好，即满意度系数与整体效用成正相关，而这也是影响救灾效果的重要因素。基于上述分析，我们定义了整体满意度函数，显然，由于定义了两个目标函数使得要求解的问题变成了一个多目标规划的问题，故需要将目标函数转化为新的目标向量。通过以上分析我们就找到了基础模型建立的路径并在此基础上对模型进行了合理的优化，以下是我们研究思路图：6三、模型假设1、所有参与分配的物资都是灾区急需的重要物资，不同物资之间不可替代。2、在地震发生以后，信息是及时且完全对称的，即当地民政部门已经对灾情进行了调查统计并分析评估出了基本数据。整体效用目标函数和整体满意度目标函数多目标函数规划及约束条件的确定各灾区对各类物资的相对急需程度的分析判定最低保障量和物资总量以及各灾区需求量LINDO进行优化求解AHP软件进行层次分析各灾区对各物资实际分配量具体算例比较模型改进与推广优缺点评价73、分配物资的供给是小于灾区的需求的。4、为了方便模型建立，将非整数通过数据整数化处理转换为整数来考虑。5、救灾物资在运输的过程中损坏率为零。6、不考虑实际分发中主观因素的影响，并且忽略救灾物资在运往救灾点以及救灾物资分配时所占用的时间。7、分配的物资只能由灾民个人享用，不存在物资的转移，且每个灾区之间相互独立。四、符号说明ija：第i个灾区对第j种物资的相对急需程度Aij：I个灾区对J种物资的相对急需程度矩阵ijx：第i个灾区的第j种物资的实际分配量ijT：第i个灾区的第j种物资的需求量ijM：第i个灾区的第j种物资的最低保障量jC：第j种物资可供分配量I：灾区总个数J：物资总类数E1：物资分配的整体效用E2：物资分配的整体满意度1：效用目标函数的修正权重系数2：整体满意度目标函数的修正权重系数jr:各种物资相互间的重要性比较后第j种物资的重要指标五、模型的建立与求解一、用层次分析法确定I个灾区对J种物资相对急需程度将目标层设为各个灾区对某一种物资的相对急需程度，准则层定义为影响该种物资8急需程度的因素，方案层为各个受灾区。通过相互比较确定各灾区对某一种物资的相对急需程度，然后依次利用层次分析法确定各灾区对其他种类的物资的相对急需程度，最终得到各灾区对各种物资的相对急需程度，记为ija。1、构建灾区对某种物资急需程度评价体系。灾害发生后，需要对各个灾区物资急需程度进行评价，但是对每一种物资急需程度进行评价的因素是不一样的，这就需要建立多个层次分析体系分别确立不同的物资急需程度。在此我们将应急物资分为五类：饮用水、帐篷、食品、医疗用品、生活用品，将分别影响这五种物资的因素制表如下所示：“是”代表影响因素，空格代表不是影响因素。影响因素饮用水帐篷医疗用品食品生活用品人口密度是是是是是水电等基础设施破坏程度是是是房屋倒塌数量是备灾能力是是是是是田地破坏亩数是92、比较准则层中的因素对目标层的影响。在评价各灾区对各种物资的急需程度的问题中分别两两比较各因素对某种物资急需程度的影响，得到判断矩阵：111213212223313233aaaaaaaaa如分析各灾区对于帐篷的相对急需程度时，根据影响它的因素，我们可得到准则层的三个因素分别是人口密度，房屋倒塌数量，备灾能力。通过它们的两两比较得到这三个因素对各灾区对于帐篷的相对急需程度的判断矩阵。同理，我们也可得到其他因素对每个灾区对于其他物资的相对急需程度的判断矩阵。3、比较方案层对准则层的影响。根据各灾区反馈的受灾信息以及专家根据经验和数据的评估列出各灾区对于每个准则的成对比较矩阵：准则1准则2准则31111nnnnaaaa1111nnnnbbbb1111nnnncccc比较具有不同性质的两个因素对于上一层因素的影响时所采用的相对尺度是由在与灾害相关的领域的资深专家根据丰富的灾害评估经验及救员经验和在灾害发生第一时间10内对灾害进行灾情评估的基础上而提供的，这些数据是具有科学性、客观性与合理性的。3、对上述判断矩阵进行一致性比较。如果各个判断矩阵的随机一致性比率CR有一个不满足小于0.1的条件，即不具有可接受的一致性，则向各个专家反馈，进行判断矩阵的调整，直到各判断矩阵都具有可接受的一致性。4、计算组合权向量。将各矩阵得到的归一化后的权向量相乘，可借助层次分析法软件yaahp辅助计算，得出第i个灾区对每种物资的相对急需程度1ia,2ia，3ia，4ia，5ia，最后建立I个灾区对J种物资的急需程度的矩阵Aij。二、建立有约束条件的物资分配的总效用函数通过对问题的分析与理解并结合实际情况，我们确定了物资分配的基本原则：在救灾物资有限的情况下，对救灾物资进行最有效的分配就是使灾区的救灾物资分配达到的整体效用最高，这就需要我们根据各灾区对各种物资的急需程度来合理分配物资，构建效用函数。模型Ⅰ：地震发生后灾区的数量记为I,救灾物资种类记为J，根据以上分析可得总效用函数：E1=11IJijijijax（1）同时由于救灾物资是有限的，所以我们得到了一个约束条件即为各灾区对同一种物资的实际分配量应小于这种物资的总量：1IijjixC（2）再由上面得到的物资分配的总效用程度为目标函数和约束条件的整数规划模型，即可得：MAXE1S.T.1IijjixC110ijx（3）模型Ⅱ：在实际的分配过程中，会存在人为因素导致部分灾民分不到物资，例如：抢劫、歧视等。而计算机在计算过程中也会因为要得到目标函数的最大值而牺牲部分灾民的利益，同时，各种物资的供应相对于需求总是不足的，为了达到对物资合理科学的分配，以保障在物资分配上每个灾区的每种物资都有最低的满意程度，我们引入了每个灾区对所需每种物资的最低保障量和各灾区对各种物资分配的满意度系数，其中最低保障量是由相关专家根据以往丰富的数据与实际救援经验且结合地震发生后的及时反馈而得出的数据，是具有科学性、合理性与可信性。满意度系数是由每个灾区所需的每种物资分配到的实际量与需求量的比值来表示的，用它来衡量每个灾区对每种物资的满意程度，从而定义整体满意度函数：E2=11IJijijijxT（4）又由于每个灾区每种物资的分配量不应小于最底保障量，所以有约束方程：ijijxM（5）根据模型假设3可得：ijijxT（6）模型Ⅲ：效用函数E1从物资供给者的角度定义了救灾效果的好坏，既仅仅根据各灾区对各种物资的相对急需程度分配给各灾区相应的物资，并不考虑物资对各灾区的实际影响；而满意度函数E2则从物资接受者地角度定义了救灾效果的好坏，能够反映出灾民对实际救灾效果的评价。我们认为仅仅考虑其中一方对于评价整体救灾效果都是不全面的，应将两函数结合起来引入多目标规划，即可得：MAX111IJijijijax+211IJijijijxT（7）S.T.1IijjixC（3）ijijxM（5）ijijxT（6）12其中:i=(1,2,3…….I);j=(1,2,3…….J);1,2值由实际灾情发生后ija和ijT的值确定。确