2019-大学高等数学经典课件8-2-文档资料

高等数学电子教案武汉科技学院数理系第二节偏导数一,偏导数的定义及其计算法1.偏导数的定义及其计算方法上册学过一元函数导数及其计算.对于多元函数类似建立偏导数及其计算.先给出二元函数偏导数的定义.考虑二元函数z=f(x,y),如固定一个变量假如y.令y=y0当作常数,使x变化,这时函数只是x的一元函数f(x,y0),该函数在x0处的导数称为二元函数z在p0(x0,y0)处对x的偏导数高等数学电子教案武汉科技学院数理系定义设函数z=f(x,y)在区域D内有定义,(x0,y0)是D内一点.如果函数φ(x)=f(x,y0)在点x0处可导,即极限00000),(),().,(,,00000xxxxxyyxxyyxxyxfyxfyxfxfxz对y的偏导数同样定义hyxfyhxfhxhxhh),(),(lim)()(lim00000000高等数学电子教案武汉科技学院数理系存在,则称这个极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作00000),(),().,(,,00000xxxxxyyxxyyxxyxfyxfyxfxfxz同样定义z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为kyxfkyxfyxfky),(),(lim),(0000000这个偏导数也可以记作0000000),(),().,(,,,00000yyyyyyyyxxyyxxyxfyxfyxfzyfyzyyxx高等数学电子教案武汉科技学院数理系若函数z=f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么对于D内的每一点(x,y)都有一个fx(x,y)与它对应,这样在D内就定义了一个新的函数,这函数称为z=f(x,y)对x的偏导数,记作),().,(,,,yxfyxfzxfxzxxx同样,函数z=f(x,y)对y的偏导数记作),().,(,,,yxfyxfzyfyzyyy由定义可知hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0kyxfkyxfyxfky),(),(lim),(0高等数学电子教案武汉科技学院数理系偏导函数也称为偏导数.显然,f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数fx(x0,y0)等于偏导函数fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值.2.偏导数的计算由定义知,z=f(x,y)对某一自变量的偏导数,是把另一自变量看作常量时的导数.因此,求偏导数在方法上和一元函数求导完全相同.求xfyf时,只要把y看作常量而对x求导;求时,只要把x看作常量而对y求导.偏导数的定义及求法可以推广到三元及三元以上的函数.高等数学电子教案武汉科技学院数理系求f(x,y)在某一点(x0,y0)处的偏导数有两种方法.(1)求极限.0|),(0xxxyxf例1求z=xxxxfxffxxx46122)1(3)1(lim)2,1()2,1(lim)2,1()1(2200223yxyx86)(2lim20xxxxx在(1,2),(1,0)处对x及y的偏导数.(2)借助一元函数求导运算高等数学电子教案武汉科技学院数理系.2|2|)()0,1(112xxxxxf.8)62()46()2,()2(1121)2,1(xxxxxxxxfxz同理可得到.7|23|)31()2,1(222yyyyyyf3|23|)31()0,1(002yyyyyyf不同点的偏导数不同,称为偏导函数高等数学电子教案武汉科技学院数理系例2设.,,)(22yzxzyxzxy求对幂指函数的求导(或求偏导数)可用下述方法:幂指数对某一变量的导数(或偏导数)由两部分组成,一部分是把该函数看成指数函数而求得的导数,一部分是把导数看成幂函数而求得的导数.)ln(22yxxyez)}ln(2{)(222222yxyxyyxxyxxzxy)}ln(2{)(2222222yxxyxxyyxyzxy高等数学电子教案武汉科技学院数理系的偏导数作为指数函数，求对xyxzxy)(22yyyxxyzyxxzxzln((,1指数函数）幂函数）)}ln(2{)(222222yxyxyyxxyxxzxy。)ln()(2222yxyxyxy的偏导数作为幂函数，求对xyxzxy)(22222221222)(2)(yxyxyxxyxxyxyxy高等数学电子教案武汉科技学院数理系例3已知42),(yxyxfxxxxxfxffxxxx02200lim0)(lim)0,0()0,(lim)0,0(故极限不存在此极限为时当此极限为时当.1,0,1,0xx0)(lim)(0lim)0,0(),0(lim)0,0(204200yyyyyfyffyyyy求:f’x(0,0),f’y(0,0)分析:本题的解法有二种:(1)利用定义求高等数学电子教案武汉科技学院数理系(2)利用一般的求导公式计算..coslimcoslimlim)0,0(00sincos42002故极限不存在trtryxxfrrtrytrxyxx02lim2lim)0,0(2220004230023423yyxyfyyyyxyyxyxy高等数学电子教案武汉科技学院数理系例4zryrxrzyxr,,222求rxzyxxzyxzyxxrx222222222222)(ryzyxyzyxzyxyry222222222222)(rzzyxzzyxzyxzrz222222222222)(高等数学电子教案武汉科技学院数理系例5已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数),求证1pTTVVp;,;,2pRTVpRTVVRTVpVRTp1,2VpRTRVpRVRTpTTVVpRVpTRpVT高等数学电子教案武汉科技学院数理系3.偏导数的几何意义设M0(x0,y0,f(x0,y0))为曲面z=f(x,y)上一点,z=f(x,y0)是过M0的平面y=y0与曲面z=f(x,y)的交线,它是x的一元函数,从而偏导数fx(x0,y0)=0),(0xxyxfdxd所以偏导数fx(x0,y0)在几何上表示曲线0),,(yyyxfzM0z=f(x,y0)z=f(x0,y)TyTxoxyzx0y0高等数学电子教案武汉科技学院数理系0),,(xxyxfz在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线M0Tx对x轴的斜率.同理,fy(x0,y0)是曲线在点M0(x0,y0,f(x0,y0))处的切线M0Ty对y轴的斜率4.偏导数存在与函数连续的关系对于一元函数y=f(x)来说,在0x处可导表示函数在该点连续.但对于多元函数来说,偏导数的存在并不保证多元函数连续.高等数学电子教案武汉科技学院数理系这是因为连续是一个全面性的概念,它要求p沿任何方式趋近0p时都要保证它的极限存在.而偏导数的存在表示它沿某一个方向(例如x方向)的极限存在并等于它的函数值,它不能保证沿所有方向的极限存在和等于函数值.自然如果函数在某点连续,也不能保证偏导数的存在.高等数学电子教案武汉科技学院数理系例如,函数),(yxf0,00,222222yxyxyxxy处处都有偏导数,但它在点(0,0)是不连续的.在下一讲里我们可知道若偏导数存在并连续,则多元函数一定连续.00)(0lim)0,0()0,0(lim|200)0,0(xxxxfxffxxx00)(0lim)0,0()0,0(lim|200)0,0(yyyyfyffyyy高等数学电子教案武汉科技学院数理系一般对分段定义的函数,在连续处要用定义来求偏导数.在上例中若x,y不同时为零求偏导数,就可直接来求,即2222222222)()()(2)(yxxyyyxxxyyxyfx22222)()(yxxyy如果合并可写成fx’=fy’=2222222222)()()(2)(yxyxxyxyxyyxxfy022222)()(yxyxx0高等数学电子教案武汉科技学院数理系二.高阶偏导数1.高阶偏导数及计算设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数),(),,(yxfyzyxfxzyx这两个偏导数在D上仍然是x,y的函数.如果它们的偏导数也存在,就称它们的偏导数是函数z=f(x,y)的二阶偏导数,分别用下面记号表示:高等数学电子教案武汉科技学院数理系;);,()();,()(222yxfyxzxzyyxfxzxzxxyxx其中yxz2xyz2),()();,()(222yxfyzyzyyxfxyzyzxyyyx叫做二阶混合偏导数.同样,若上述四个和二阶偏导数的偏导数也存在,可以定义三阶偏导数,依次类推,可以定义三阶以上的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.而一阶偏导数就叫做偏导数.高等数学电子教案武汉科技学院数理系例5验证函数22lnyxz满足方程02222yzxz)ln(21ln2222yxyxz证明:因为;,),ln(21ln22222222yxyyzyxxxzyxyxz;)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxz0;)()(2)(2222222222222222yzxzyxyxyxyyyxyz高等数学电子教案武汉科技学院数理系例6设222zyxr证明函数u=1/r,满足方程0222222zuyuxu证明;1;2232222rxrxrxrruxurxzyxxxr5232252322523432231.31.3131rzrzuryryurxrxrrxrxu033)(333352223222222rrrzyxrzuyuxu高等数学电子教案武汉科技学院数理系xyyxyxyzyxyyxxz2124;862232322可以看出,二阶的混合偏导数相等.一般二阶混合偏导数在什么情况下相等呢?下面我们研究例7设z=2x3y2-4x2y3-xy2+3求.,,,,33222222xzyzxyzyxzxz;22412;224122222222yxzyxyyxxyzyxyyxyxz2332322322212;2244;812yxzxyxxyzyxyxz高等数学电子教案武汉科技学院数理系2.混合偏导数的求导次序定理如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数,,22xyzyxz上述定理可推广到更高阶的及更多元的情况.例如在连续条件下有fxyxy=fxxyy=fxyyx=fyyxx=fyxyx=fyxxy上式表示,只要对x求导两次,对y求导两次,不论求导次序如何,结果是一样的.注意(1)若不假设二阶偏导数fxy和fyx的连续,定理中的结果就不一定成立.例如函数在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等.(证明从略)高等数学电子教案武汉科技学院数理系),(yxf此函数所有二阶偏导数都存在,但