高中数学课件---圆与圆的位置关系

4.2.2圆与圆的位置关系1.理解圆与圆的五种位置关系.2.会利用两点间的距离公式求两圆的圆心距.3.会用连心线的长判断两圆的位置关系.圆与圆的位置关系设两圆C1,C2的半径分别为R和r,圆心距为d,则两圆的位置关系如下表,请完成下表：dR+rd=R+r|R-r|dR+rd=|R-r|d|R-r|1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)如果两个圆无公共点,那么这两个圆外离.()(2)两圆方程联立,若有两个解,则两圆相交.()(3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含.()(4)若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切.()提示：(1)错误.两个圆无公共点说明两圆有可能外离,也有可能内含,故此说法是错误的.(2)正确.这是代数法判定两圆的位置关系的方法.(3)正确.根据两圆内含的定义知,此说法正确.(4)错误.两圆有且只有一个公共点,则两圆不一定外切,还有可能内切,故此说法是错误的.答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)若两圆的半径R,r分别为5和2,圆心距d为3,则两圆的位置关系是.(2)已知☉O1与☉O2的方程分别为(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=r2(r1),若两圆相交,则r的取值范围是.(3)若圆O1：x2+y2=4与圆O2：(x-a)2+y2=1外切,则a=______.【解析】(1)因为R=5,r=2,d=3,所以d=R-r,所以两圆内切.答案：内切(2)因为圆心距d=|O1O2|=2,且两圆相交,所以r-1dr+1,即r-12r+1,所以1r3.答案：1r3(3)因为d=|O1O2|==|a|,所以|a|=2+1=3,所以a=±3.答案：±322a0一、两圆的位置关系探究1：观察下列圆与圆之间的位置关系,思考下列问题.(1)圆与圆的位置关系有哪几种?提示：两个大小不等的圆,其位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情况.(2)影响圆与圆的位置关系的数量因素是什么?提示：两圆的半径和与差与圆心距之间的大小关系.探究2：我们知道判断直线与圆的位置关系有几何法和代数法,类比直线与圆的位置关系的判断,思考下列问题.(1)用代数法判断圆与圆的位置关系,结合下表填空.提示：(2)结合上表分析，“若两圆的方程组成的方程组无解，则两圆外离”，这种说法对吗？请说明理由.提示：这种说法不正确，因为两圆的方程组成的方程组无解，说明两圆无公共点，两圆无公共点有外离、内含两种情况，不能说两圆一定外离.探究提示：注意两圆无公共点分外离和内含两种情况.【探究提升】判断圆与圆位置关系的两点说明(1)利用代数法判断两圆的位置关系时,由Δ=0得两圆相切,由Δ0得两圆相离,但是无法区分内切或外切,内含或外离.(2)采用几何法判断圆与圆的位置关系,需比较两圆半径的和、两圆半径差的绝对值和两圆圆心距的大小关系,因此必须正确求出两圆的圆心坐标和半径.二、两圆相交观察奥运五环图案,思考并探究下面的问题：探究1：若两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,M(x0,y0)为一个交点,则点M(x0,y0)在直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上吗?提示：在.因为M(x0,y0)为C1与C2的交点,所以M(x0,y0)在圆C1,C2上,所以两式相减得(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0,所以M(x0,y0)在直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上.222200101010020202xyDxEyF0,xyDxEyF0，探究2：将两个相交的圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢?提示：两圆相减得一直线方程,它经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.探究3：若两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相切,则方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示的直线是什么?若两圆相离呢?提示：当圆C1,C2外切时,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0就是两圆的内公切线;当圆C1,C2内切时,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0就是两圆的公切线;当圆C1,C2相离时,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示一条与两圆连心线垂直的直线.【拓展延伸】过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系的方程方程①：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,其中λ为任意实数.(1)当两圆C1,C2相交时,方程①表示过两圆C1,C2的交点的圆系方程(但方程①所表示的圆不包括圆C2,圆系中的一切圆都和C1,C2相交).(2)当圆C1,C2相切时,方程①表示过两圆C1,C2的切点的圆系方程(但方程①所表示的圆不包括圆C2,圆系中的一切圆都和C1,C2相切).【探究提升】对两圆相交问题的两点说明(1)若两圆相交,只要x2,y2的系数对应相等,两圆方程作差所得方程即为两圆公共弦所在的直线方程.(2)注意用两圆的方程相减求公共弦所在直线的方程必须在两圆相交的条件下才成立.类型一圆与圆位置关系的判定通过解答下列圆与圆位置关系的题目,总结两圆位置关系的两种判断方法.1.若a2+b2=4,则两圆(x-a)2+y2=1与x2+(y-b)2=1的位置关系是.2.已知两圆C1：x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2：x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)当a为何值时,两圆外切.(2)当a=1时,试判断两圆的位置关系.【解题指南】1.计算两圆的圆心距,判断与两圆半径的关系.2.(1)将圆的方程化成标准方程,求出圆心、半径、圆心距.借助两圆外切的条件列出关于a的方程.(2)当a=1时,需计算圆心距d=|C1C2|及两圆半径r1,r2,然后通过d与r1,r2的关系确定两圆的位置关系.【解析】1.因为两圆的圆心分别为O1(a,0),O2(0,b).半径r1=r2=1,所以|O1O2|==2=r1+r2,故两圆外切.答案：外切22ab2.将两圆的方程写成标准方程为C1：(x-a)2+(y+2)2=9,C2：(x+1)2+(y-a)2=4.所以两圆的圆心和半径分别为C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或a=2.(2)当a=1时,d=r1=3,r2=2,因为|r2-r1|dr2+r1,所以两圆相交.22a6a513，【互动探究】若题2条件不变，则当a为何值时，两圆内切.【解析】当d=|r2-r1|=|2-3|=1，即2a2+6a+5=1时，两圆内切，此时a=-2或a=-1.【技法点拨】两圆位置关系的判断方法提醒：仅从圆与圆的交点个数判定两圆位置关系,可能无法得出最终结论，如有1个交点,就不能判定是内切还是外切,应再结合图象判定.【拓展延伸】两圆公切线的条数问题两圆的公切线：两圆外离时,有四条公切线;外切时,有三条公切线;相交时,有两条公切线;内切时,仅有一条公切线;内含时,没有公切线.【变式训练】两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是()A.相离B.相交C.内切D.外切【解析】选B.圆x2+y2-8x+6y+9=0的圆心为(4,-3),半径为4.两圆心之间的距离为5,因为|3-4|53+4,所以两圆相交.类型二两圆的公共弦问题尝试完成下列题目,请归纳求两圆公共弦长及公共弦所在直线的方程的方法.1.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦长为2,则a=.2.(2013·烟台高一检测)已知两圆C1：x2+y2-2x-6y+1=0和圆C2：x2+y2-10x-12y+45=0.求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.3【解题指南】1.先求出公共弦所在的直线方程,利用圆x2+y2=4的半径和圆心到直线的距离及半弦长求解.2.先求两圆的公共弦所在的直线方程,然后求圆心C1到公共弦所在直线的距离d,最后利用公共弦的长即可得解.2212rd【解析】1.两圆方程作差知公共弦所在直线方程为如图.由已知得|AC|=，｜OA｜=2.因为a0,所以|OC|＝=1,所以a=1.答案：11y.a31a2.设两圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A，B两点满足方程组将两个方程相减得4x+3y-22=0，即为两圆公共弦所在直线的方程.易知圆C1的圆心(1，3)，半径r=3，则点C1到直线4x+3y-22=0的距离故公共弦AB的长为2222xy2x6y10,xy10x12y450,22|4922|9d.5432281242rd29.255【技法点拨】求两圆公共弦长及公共弦所在直线的方程的两种方法(1)方法一：解方程组求出两圆交点坐标,然后由两点间距离公式求弦长,由两点坐标求公共弦所在直线方程.本方法运算量较大,一般不常用.(2)方法二：【变式训练】已知圆O：x2+y2=25和圆C：x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B两点,求公共弦AB的长.【解析】两圆方程相减得弦AB所在直线的方程为4x+2y-5=0.圆O：x2+y2=25的圆心到直线AB的距离所以公共弦AB的长为|AB|=|5|5d,2202252rd22595.4类型三与两圆相切有关的问题通过解答与两圆相切有关的问题,试总结处理两圆相切问题的两个步骤.1.(2013·哈尔滨高二检测)半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是()A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=362.求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程.33【解题指南】1.已知半径,确定圆的方程的关键是确定圆心坐标.2.两圆外切时圆心距等于两半径之和,当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径长,据此列方程组求解.【解析】1.选D.由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36，由题意，得所以a2=16,所以a=±4.2a95，2.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切，则=r+1.①又所求圆过点M(3，-)的切线为直线x+y=0,故②③解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b=,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+)2=36.22(a1)b33b33.a3|a3b|r.24343【技法点拨】处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切、外切两种情况讨论.(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).【变式训练】求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为P(a,b)，所以①(1)若两圆外切，则有②由①②，解得a=5,b=-1.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.22(a4)(b1)1.22(a2)(b1)123.(2)若两圆内切，则有③由①③,解得a=3,b=-1.所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上可知,所求圆的方程为(x-5)2+(y