1.6三角函数模型及简单应用(高中数学人教A版必修四)解析

•1、物理情景——•①简单和谐运动•②星体的环绕运动•2、地理情景——①气温变化规律•②月圆与月缺•3、心理、生理现象——①情绪的波动•②智力变化状况•③体力变化状况•4、日常生活现象——①涨潮与退潮•②股票变化•…………)0,0()sin(AxAy•正弦型函数§1.6三角函数模型的简单应用返回问题例示下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数表达式。OA2BCDFEy/cmx/s0.40.81.2课前热身1.如果某种变化着的现象具有__________性,那么它就可以借助三角函数来描述.2.三角函数作为描述现实世界中__________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画__________变化规律､预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.3.我们可以利用搜集到的数据,作出相应的__________,通过观察__________并进行__________而获得具体的函数模型,最后利用这个__________来解决相应的实际问题.周期周期周期散点图散点图函数拟合函数模型新课讲解1.三角函数模型的应用(1)根据图象求出函数解析式.(2)根据函数解析式作出图象.(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型.(4)利用收集的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.2.解答三角函数应用题的一般步骤(1)审题:问题的给出一般是文字语言与图形语言,认真审题领悟其中的数字本质.(2)建立三角函数模型:根据“审题”获得的信息转化成抽象的数学问题,建立三角函数式或三角不等式或三角方程.(3)解决三角函数模型:应用所学的三角知识,解决数学问题.(4)作出结论:将得到的数学答案,依据实际问题作出相应的结论.例1:如果某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,如图所示.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.分析:利用y=Asin(ωx+φ)+b的图象和性质.题型一利用三角函数的图象解决问题解:(1)观察图象知这一题中的最大用电量为50万度,最小用电量为30万度.,T12.12,26TT1486注意——一般的，所求出的函数模型只能近似地刻画这天某个时段的温度变化情况，因此要特别注意自变量的变化范围。(2)观察图象可知,半个周期为11(5030)40,(5030)10,22bA)40(6.6.,y10sinxx8y30将代入上式解得()66,8,14xy10sin40x所求解析式为规律技巧:确定函数关系式y=Asin(ωx+φ)就是确定其中的参数A､ω､φ等,从图象的特征上找答案,A主要由最值确定,ω是由周期确定,周期T通过特殊点观察图象求得,如相邻的最大值,最小值相差半个周期,φ又由图象上的点求得,确定φ值时,要注意它的不惟一性,一般求|φ|中最小的φ.题型总结：maxmin1A=fx-fx2maxmin1b=fx+fx2利用求得2πT=，ωω利用最低点或最高点在图象上该点的坐标满足函数解析式可求得,φ也可以利用函数的零值点来求．f求函数的方法：(x)=Asin(x+)+b总结求解顺序：,Ab1、一界二中三周期，2、可得、、3、再用零点解得练1、如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(1)求这一天6～14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.61014yT/℃xt/h102030O解:(1)最大温差是20℃(2)从6～14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象61014yT/℃xt/h102030O13010102A13010202b1214628将x=6,y=10代入上式,解得34310sin20,6,1484yxx所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段温度变化,因此应当特别注意自变量的变化范围所以题型二三角函数模型在物理学中的应用例2:如下图所示,某大风车的半径为2m,每12s旋转一周,它的最低点O离地面0.5m,风车圆周上一点A从最低点O开始运动ts后与地面的距离为hm.(1)求函数h=f(t)的关系式;(2)画出函数h=f(t)的图象.分析:本题具有周期性,可用函数y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b进行模拟.解:(1)如图,以O为原点,过点O的圆的切线为x轴,建立直角坐标系,设A点的坐标为(x,y),则h=y+0.5.,2.y2co2,22,2,22.5.126662.56s()h2cos.ytttcosttOO1Acosy2cosh2设则又函数的图象如图所示规律技巧:根据题目的特点,恰当的建立坐标系,可使问题简化,作图时如没有要求,可作出示意图.变式训练2:如下图弹簧挂着的小球作上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是t∈[0,+∞).画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,回答下列问题.2,4hsint(1)小球开始振动的位置在哪里?(2)小球最高､最低点与平衡位置的距离分别为多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)?(4)小球每1s能往复振动多少次?解:一个周期长度的图象如下图.(),.(),2cm.()2,2211)2,(..1t0hh232sT241s令得即静止时在处最高点最低点与平衡位置的距离都是由图象知往复振动一次需即往复振动次题型三求生活实例模拟函数解析式例3:受日月引力,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:经长期观察,y=f(t)曲线可以近似地看做函数y=Asinωt+k的图象.t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5m.如果该船在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?分析:可先根据给出的数据在坐标系中作出散点图,再结合几点关键数据求出解析式,最后解决实际问题.解:(1)根据数据画出散点图,如下图,则周期T=12,振幅A=3,k=10,∴y=3sint+10(0≤t≤24).6131011.5,,662(),5666,..,(),,sintsintt2565115m2k2kkZ0t24由题意该船进出港时水深应不小于即≥≥≤≤≤≤∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z).在同一天内取k=0或1,则1≤t≤5或13≤t≤17.所以该船最早能在凌晨1时进港,最晚下午17时出港,在港口最多停留16小时.练3海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图3691215182124Oxy642根据图象,可以考虑用函数y=Asin(x+)+h刻画水深与题意之间的对应关系.A=2.5,h=5,T=12,=0.612,2T得由所以,港口的水深与时间的关系可用近似描述.56sin5.2xy时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.75456sin5.2xy由得到港口在整点时水深的近似值:(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.5.556sin5.2x2.06sinx由计算器可得SHIFTsin-1MODEMODE20.2=0.20135792≈0.2014ABCDy=5.5yOx5101524682.5sin56yx因此有两个交点的图象与直线函数内在区间B,A,5.556sin5.2,0,12yxy2014.06-,2014.06或x6152.5,3848.0BAxx6152.176152.512,3848.123848.012:DCxx由函数的周期性易得因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.O246810xy86422.5sin56yx5.50.32yxP(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数,可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米.6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥十分重要的作用。具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。变式训练3:已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b,根据以上数据,函数的解析式为______.t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.51.50.51,12,22221,(,b1,At)1,0,1.5,cos11262611,.60,2TycosTycost由图知把点代入得为所求12:y16cost答案δφθφ-δ太阳光例4、如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那