2003年高考.全国卷.文科数学试题及答案

绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cossinlccS)(21台侧其中c、c分别表示)]sin()[sin(21sincos上、下底面周长，l表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21coscos球体的体积公式：334RV球，其中R)]cos()[cos(21sinsin表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分奎屯王新敞新疆第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页奎屯王新敞新疆考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回奎屯王新敞新疆第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线2yxx关于对称的直线方程为（）（A）12yx（B）12yx（C）2yx（D）2yx2．已知,02x，54cosx，则2tgx（）（A）247（B）247（C）724（D）7243．抛物线2yax的准线方程是2,ya则的值为（）（A）18（B）18（C）8（D）84．等差数列na中，已知1251,4,33,3naaaan则为（）（A）48（B）49（C）50（D）515．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1212,,120FFFMF，则双曲线的离心率为（）（A）3（B）62（C）63（D）336．设函数2112)(xxfx00xx，若1)(0xf，则0x的取值范围是（）（A）（1，1）（B）（1，）（C）（，2）（0，）（D）（，1）（1，）7．已知5()lg,(2)fxxf则（）（A）lg2（B）lg32（C）1lg32（D）1lg258．函数sin()(0)yxR是上的偶函数，则（）（A）0（B）4（C）2（D）9．已知(,2)(0):-30aalxya点到直线的距离为1，则（）（A）2（B）22（C）21（D）2110．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为34R，该圆柱的全面积为（）（A）22R（B）249R（C）238R（D）252R11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点0P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点1P后，依次反射到CD、DA和AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角）奎屯王新敞新疆若40PP与重合，则tg=（）（A）31（B）52（C）21（D）112．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A）3（B）4（C）33（D）62003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分奎屯王新敞新疆把答案填在题中横线上奎屯王新敞新疆13．不等式24xxx的解集是____________________.14．92)21(xx的展开式中9x系数是________.15．在平面几何里，有勾股定理：“设222,,ABCABACABACBC的两边互相垂直则奎屯王新敞新疆”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABCACDADB、、两两互相垂直，则______________________________________________.”16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种_______________________奎屯王新敞新疆（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤2153417．（本小题满分12分）已知正四棱柱111111112ABCDABCDABAAECCFBD，，，点为中点，点为点中点奎屯王新敞新疆（Ⅰ）证明11EFBDCC为与的公垂线（Ⅱ）求点1DBDE到面的距离奎屯王新敞新疆18．（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60，且|1|z是||z和|2|z的等比中项，求||z.19．（本小题满分12分）已知数列na满足1111,3(2).nnnaaan（Ⅰ）求23,aa；（Ⅱ）证明312nna奎屯王新敞新疆20．（本小题满分12分）已知函数()2sin(sincos)fxxxx奎屯王新敞新疆（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()yfx在区间,22上的图象奎屯王新敞新疆21．（本小题满分12分）ED1B1A1C1BDCAFMyO2O2Ox在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南2(cos)10方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（本小题满分14分）已知常数0a，在矩形ABCD中，4AB，aBC4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且DADCCDCFBCBE，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由奎屯王新敞新疆2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准OPAGDFECBxyO北东Oy线岸OxPOr(t)P45海说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．C2．D3．B4．C5．B6．D7．D8．C9．C10．B11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．]4,2(14．22115．2222BCDADBACDABCSSSS16．72三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=21D1D又EC=21CC1，且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线（II）解：连结ED1，有V由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则S△DBC·d=S△DCD1·EF.∵AA1=2·AB=1.22,2EFEDBEBD23)2(2321,2222121DBCDBDSS故点D1到平面BDE的距离为332.18．解：设z=2),60sin60(cosrzir的实邻为则复数2,rzzrzz由题设|2||||1|2zzz即)2)(2(||)1)(1(zzzzz42122rrrrr12120122rrrr解得（舍去）即|z|=1219．（I）解∵1343,413,12321aaa（II）证明：由已知故,311nnnaa112211)()()(aaaaaaaannnnn=.213133321nnn所以213nna20．解（I）xxxxxxf2sin2cos1cossin2sin2)(2)42sin(21)4sin2cos4cos2(sin21xxx所以函数)(xf的最小正周期为π，最大值为21.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83888385y1211211故函数)(xfy在区间]2,2[上的图象是21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心),(yxP的坐标为.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是222)]([)()(tryyxx，其中10)(trt+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222tyx即,)6010()22201027300()2220102300(222ttt即0288362tt，解得2412t.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设)10(kkDADCCDCFBCBE，由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.直线OF的方程为：0)12(2ykax，①直线GE的方程为：02)12(ayxka.②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程022222ayyxa，整理得1)(21222aayx.当212a时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当212a时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当212a时，点P到椭圆两个焦点),21(),,21(22aaaa的距离之和为定值2.当212a时，点P到椭圆两个焦点)21021,0(22aaaa，），（的距离之和为定值a2.