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图4—11PCBA从“费马点”说起前言解题题海战术通性通法过程与结果内化一、走近费马点1．（浙教版数学八下P82）设计题你听说过费马点吗？如图4—11，P为△ABC所在平面上一点。如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。请按下列步骤对费马点进行探究：（1）查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景；（2）在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当△ABC是等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？（3）把你的研究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善你的小论文。2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P为ABC△所在平面上一点，且120APBBPCCPA°，则点P叫做ABC△的费马点.（1）若点P为锐角ABC△的费马点，且60ABCPAPC°，3，4，则PB的值为________；（2）如图，在锐角ABC△外侧作等边ACB△′连结BB′.求证：BB′过ABC△的费马点P，且BB′=PAPBPC.3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题：(1)阅读理解：①如图(1)，在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．②如图(2)，若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD+BC·DA=AC·BD，此为托勒密定理．(2)知识迁移：HPDCBA①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图(3)，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120度)的费马点和费马距离的方法：第一步：如图(4)在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在弧BC上任取一点'P，连结'PA、'PB、'PC、'PD易知''''('')'PAPBPCPAPBPCPA;第三步：请你根据(1)①中定义，在图(4)中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离(3)知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B,C构成了如图(5)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120o)，现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．4．（2008年广东省中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长。5．（2009年天津市竞赛题）已知点P是锐角三角形ABC内的一个点，且使PA+PB+PC最小。试确定点P的位置，并证明你的结论。图1PCBAABCEPB`P'图2ABCEPB`6．(2011年北京市竞赛题)如图，矩形ABCD是一个长为1000m，宽为600m的货场，A、D是入口。现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP及HP之长度和为l。（1）求l的最小值；（2）请指出当l取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置。二、探究费马点1．来历：费马在阅读“将军饮马”问题时，联想到“如何确定平面内到三个已知点距离和最小的点？”写信给托里拆利，托里拆利解决了这个难题，后来斯坦纳进行了完善和推广。2．结论：三角形的费马点：平面上，到一个已知三角形三个顶点的距离和最小的点叫做这个三角形的费马点．（1）当已知三角形最大内角小于120°时，费马点在该三角形内，且与任两个顶点的连线的夹角均为120°；（2）当已知三角形最大内角大于或等于120°时，费马点就是这个最大内角的顶点．3．证明．求三条发散的线段和的最小值，一般通过图形变换，形成确定两端点的折线，运用“两点之间线段最短”解决．1）当三角形的最大内角小于120°的情形．已知：如图1，P为△ABC内一点，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．设平面内有一点'P．求证：PA+PB+PC≤CPBPAP'''．证明：如图2，分别以AP、AC为边作正三角形，连结EB''，得△APC≌△'AEB，易知',,,BEPB在同一直线上，PA+PB+PC='EBPEBP≤CPBPAP'''．P'ACBEB'ACBP'B'A'PCBA2）当三角形的最大内角不小于120°的情形．4．如何确定费马点的位置（最大内角小于120°的情形）．分别以BC、AC为边向外作正三角形，连结'',AABB，交点即为所求费马点P。（连结PC，先证明△'ACA≌△CBB'，得∠PAC=∠CPB'，所以',,,BCPA四点共圆，得∠APC=120°，同理∠BPC=120°）5．应用举例（思考：特殊三角形的费马点性质）．题1~6见前7．(2009年北京市中考题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的坐标分别为6,0A，6,0B，0,43C，延长AC到点D,使CD=12AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）(2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题)8．如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸．点B到AD的最短距离为360km．今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC=km.三、拓展1．将军饮马问题的延伸．2．两个正三角形共顶点．3．两点间折线大小的比较．4．四点共圆．5．正三角形的媒介作用。练习1(湖州中考题)已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(2，-3)、B(4，-1)．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x的值；（2）若C（a，0），D(a+3,0)是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；PCBA图5DCBAADCB图3OCBA（3）设M，N分别为x轴，y轴上的动点，问：是否存在这样的点M(m，0)和N(0，n)，使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．练习2（武汉竞赛题）如图5，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2，3，则PC所能达到的最大值为（）（A）5（B）13（C）5（D）6练习3（四川竞赛题）如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝63o，则∠AEB的度数是．练习4（广西竞赛题）如下图，已知∠ABC=30°,∠ADC=60°，AD=DC，求证：222BDABBC.练习5（宁波竞赛题）如图3，已知点O为等边三角形ABC内的一点，∠AOB=115°，∠BOC=125°，试求以OA、OB、OC为三边的三角形的各内角的度数.练习6如上右图，正三角形ABC外一点D，且∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD.图7DCBA练习7如图，菱形ABCD的边BC,CD上分别有点E,F，∠B=60°，△AEF有一个内角为60°，求证：△AEF是正三角形。FEABCD练习8（重庆竞赛题）如图7，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD。求证：BD=CD练习9（山东潍坊中考题）在平面确定四点，连结每两点，使任意三点构成等腰三角形（包括等边三角形），且每两点之间的线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种？画图说明。练习10如图，求证：AC+BC＞AP+BP;AC+BC＞AP+PP’+BP’PCBAP'PCBA练习11（2010年江苏南通中考题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．练习12（余姚中学自主招生试题）已知直线xy上一点C（第三象限），过点C作CD⊥x轴于D,交双曲线xky于点B，过点C作CN⊥y轴于N,交双曲线xky于点E，若B是CD的中点，且四边形OBCE的面积为4.5，（1）求k的值；（2）若A（3,3），点M是双曲线xky第一象限上的任意一点，求证：MAMC为常数6；（3）现要在双曲线xky上选一处M建一座码头，向A（3,3），P（9,6）两地转运货物，经测算，从M到A，从M到P修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低。