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第1页共4页OCBAOCBAOCBA圆中常见的辅助线的作法1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。【例3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是第2页共4页4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。【例8】如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；第3页共4页7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=【例11】如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。[课后冲浪]一、证明解答题16．已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．17．如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.ABCDEPO..ACBMNo第4页共4页18．已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.ABCDOE19．如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？21．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为F.求证：DE=CF.23．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连AC交⊙O于D，过D作⊙O的切线EF，交BC于E点.求证：OE//AC.三、探索题24．已知：图a，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：（1）DC是⊙O的切线，（2）过D点作DE⊥AB，图b所示，交AC于P点，请考察P点在DE的什么位置？并说明理由.CDABO图aFEDOCBACDABOEP图b.PMNQCDA