南大复变函数与积分变换课件(PPT版)2-复变函数试题(一)

1复变函数与积分变换试题(一)试题2002一、填空题(1)的模为，辐角主值为3231i.。.(2)的值为的值为)1Ln(iπ43e，.。(3)伸缩率为处的旋转角为映射w=z3z在z=i.。，.(4)在区域D内解析的函数),(),()(yxviyxuzf.。充要条件为复变函数与积分变换试题(一)2复变函数与积分变换试题(一)试题2002(7)41||3d)2/1()(ezzzzπz.。(5)在z0=1+i处展开成泰勒级数的)34(1zz.。收敛半径为的何种类型的奇点?(6)z=0是zzfz111)(e.。(8)，已知][)2()2()()(21)(0000tttttttttf)]([tf.。求3复变函数与积分变换试题(一)试题2002二、验证),(yxuyxyxu)1(2),(z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是.)2(if三、将函数)2()1(1)(zzzf分别在与处展开为1z2z洛朗级数。四、计算下列各题2||11dezzzzπθθ02sin1dxxxxd)9()1(cos022zzziπzzdsin211||3e1.3.2.4.)()(e1tutft，)()(2tuttf，求)()(21tftf。5.已知4复变函数与积分变换试题(一)试题2002六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。ii33五、求区域}{1Im0,0Re:zzzD在映射ziw下的像。八、设函数)(zf在Rz||上解析，证明.)||(,)(d))(()(2||||222RzzfξξzRzξξfiπzRR.2)0(,1)0(,yytyy七、用拉氏变换求解微分方程5复变函数与积分变换试题(一)解答2002一、填空题(1)的模为，辐角主值为3231i.。.(2)的值为的值为)1Ln(iπ43e，.。(3)伸缩率为处的旋转角为映射w=z3z在z=i.。，.(4)在区域D内解析的函数),(),()(yxviyxuzf.。充要条件为复变函数与积分变换试题(一)解答)2222(3eiiπk)12(1π4πu,v在D内可微，且满足C-R方程6复变函数与积分变换试题(一)解答2002(7)41||3d)2/1()(ezzzzπz.。(5)在z0=1+i处展开成泰勒级数的)34(1zz.。收敛半径为的何种类型的奇点?(6)z=0是zzfz111)(e.。(8)，已知][)2()2()()(21)(0000tttttttttf)]([tf.。求3102coscos00tt可去奇点07复变函数与积分变换试题(一)解答2002故u(x,y)为调和函数。,0yyxxuuyyvd2,)(2xy,)(x,2)(2cxxx.)2()1(2)(22cyxxiyxzf,0xxu,0yyu(1)解二、验证),(yxuyxyxu)1(2),(z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是.)2(if(2)方法一：偏微分法,2yxvyu由xyvxu22由,2),(22cyxxyxv即得8复变函数与积分变换试题(一)解答2002(2)方法二：全微分法.)2()1(2)(22cyxxiyxzf解,2),(22cyxxyxv即得由,2yxvyu,22xyvxu有yyxxvd2d)22(d,)2(d22yxx,1c.)12()1(2)(22yxxiyxzf,)2(if(3)由二、验证),(yxuyxyxu)1(2),(z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是.)2(if9复变函数与积分变换试题(一)解答2002解(1)在z=1处展开①当时，1|1|0z)1(1111)(zzzf0)1()1(1nnzz.)1(01nnz三、将函数)2()1(1)(zzzf分别在与处展开为1z2z洛朗级数。1210复变函数与积分变换试题(一)解答2002解(1)在z=1处展开②当时，1|1|z1)1(111)(zzzf121111)1(12zz02)1(1)1(1nnzz.)1(102nnz三、将函数)2()1(1)(zzzf分别在与处展开为1z2z洛朗级数。11复变函数与积分变换试题(一)解答2002①当时，1|2|0z.)2()1()(01nnnzzf②当时，1|2|z.)2(1)1()(02nnnzzf12解(2)在z=2处展开三、将函数)2()1(1)(zzzf分别在与处展开为1z2z洛朗级数。12复变函数与积分变换试题(一)解答2002.1四、zzziπzzdsin211||3e1.解方法一利用留数求解z=0为二级极点，)sin(lim221320ezzziπiπzz原式方法二利用高阶导数公式求解.10)sin(!21ezzz原式13复变函数与积分变换试题(一)解答2002)(e3211)1(!31)1(!21111]1)1[(zzzzzz,111!21)(z.3iπ232iπ原式2.四、2||11dezzzz解z=1为本性奇点，14复变函数与积分变换试题(一)解答2002πθθ02cos3)2d(,cos3d20πθθ3.四、πθθ02sin1dπθθ022cos11d(1)原式=解令则,eiz,21cos2zz,ddziz原式1||2213dzzizzz.16d21||2zzzzi15复变函数与积分变换试题(一)解答2002.2π.2232z,2231z3.四、πθθ02sin1d(1)解16214zzzπ原式1||2213dzzizzz.16d21||2zzzzi(2)记,161)(2zzzf则有两个一级极点：)(zf(不在内)1||z2z],)([Res221zzfiπi原式=16复变函数与积分变换试题(一)解答2002izzizzzzf])9()1[(],)([Res221e,161ei,48],)([Res32eizzf.48)3(31eeπ,3,21iziz在上半平面有两个一级极点4.四、xxxxd)9()1(cos022,)9()1()(22ezzzfzi令解]ee[)4816(2Re2131iiiπ原式17复变函数与积分变换试题(一)解答2002(1)当时，0t;0)()(21tftfd)()()(021tetftft.)1(ett)()(e1tutft，)()(2tuttf，求)()(21tftf。5.已知四、t)(1f)(2ft)(2tf)(2f)(1f)(1f)(2f)(2tf(2)当时，0td)()()()(2121tfftftf解,d)]([)(21tff18复变函数与积分变换试题(一)解答20020(z)i12/)1(101iiic022/12iicziw五、求区域}{1Im0,0Re:zzzD在映射下的像。解(1+i)/2(w)0213ci0103ici/22c1+i1c119复变函数与积分变换试题(一)解答2002i3ii33(z)六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。312zzizizw22331zzz解(z2)(z1)3/π(w)izzizzw33333320复变函数与积分变换试题(一)解答2002,1)()0()0()(22ssYysysYs,1)(2)(22ssYssYs.)1(112)(222sssssY.2)0(,1)0(,yytyy七、用拉氏变换求解微分方程代入初值得求解得对方程两边取拉氏变换得解(1)令,)]([)(tysY21复变函数与积分变换试题(一)解答2002)1(112)(222sssssY1111212222sssss.sin3cos)(tttty解(2)求拉氏逆变换方法一利用部分分式求解,1311222ssss.2)0(,1)0(,yytyy七、用拉氏变换求解微分方程22复变函数与积分变换试题(一)解答2002解(2)求拉氏逆变换方法二利用留数求解)1(112)(222sssssY,)1(122223ssss两个一阶极点,3,2is有一个二阶极点,01s]0,)([RessYtse;t)1(e)12(ddlim222320sssssstss.2)0(,1)0(,yytyy七、用拉氏变换求解微分方程23复变函数与积分变换试题(一)解答2002解(2)求拉氏逆变换方法二利用留数求解.sin3costtt;2321etiiittytitititi232)(eeeeisstissssisY)()12(],)([Res223etse;2321etiiisstissssisY)()12(],)([Res223etse.2)0(,1)0(,yytyy七、用拉氏变换求解微分方程24复变函数与积分变换试题(一)解答2002zξξzRξfiπiπzR222)(22||.)(zf,||Rz由于ξξzRξfzξiπzRRξd)()(12||222(2)左边=八、设函数)(zf在Rz||上解析，证明.)||(,)(d))(()(2||||222RzzfξξzRzξξfiπzRR,,221zRξzξ证明(1)被积函数有两个一阶极点故在之外；Rξ||2ξ25复变函数与积分变换试题(一)解答2002休息一下……