用均值不等式求最值的方法和技巧

1用均值不等式求最值的方法和技巧桃源县第九中学朱梅芳均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。一、几个重要的均值不等式①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；②，、)(222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a=b=c时,“=”号成立；④)(3333Rcbacbaabcabccba、、,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。解析：21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。2、求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2yxxx②2sincos(0)2yxxx解析：2①30,3202xx∴，∴23(32)(0)(32)2yxxxxxx3(32)[]13xxx，当且仅当32xx即1x时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②0,sin0,cos02xxx∴，则0y，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos)2xxx22231sinsin2cos4()2327xxx,当且仅当22sin2cosxx(0)2xtan2x，即tan2xarc时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是239。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、yR，求4()fxxx)10(x的最小值。解法一：（单调性法）由函数()(0)bfxaxabx、图象及性质知，当(0,1]x时，函数4()fxxx是减函数。证明：任取12,(0,1]xx且1201xx，则12121244()()()()fxfxxxxx211212()4xxxxxx1212124()xxxxxx，∵1201xx，∴12121240,0xxxxxx，则1212()()0()()fxfxfxfx，即4()fxxx在(0,1]上是减函数。故当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。解法二：（配方法）因01x，则有4()fxxx22()4xx，易知当01x时，20xx且单调递减，则22()()4fxxx在(0,1]上也是减函数，即4()fxxx在(0,1]上是减函数，当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。解法三：（导数法）由4()fxxx得24()1fxx，当(0,1]x时，24()10fxx，则函数4()fxxx在(0,1]上是减函数。故当1x时，4()fxxx在(0,1]上有最小值5。3解法四：（拆分法）4()fxxx)10(x13()xxx1321xx5，当且仅当1x时“=”号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。4、条件最值问题。例4、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。解法一：（利用均值不等式）2xy8116()(2)10xyxyxyyx1610218xyyx,当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法二：（消元法）由811xy得8xyx，由00088xyxxx又则2xy22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx162(8)10188xx。当且仅当1688xx即12,3xy此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令228sin1cosxxxy则有228sin1cosxxyx则22822sincosxyxx2222228csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx22102(8cot)(2tan)xx18，易求得12,3xy此时时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：81812()(2)228xyxyxyxyxy。原因就是等号成立的条件不一致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。解法一：由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。又23()2xyxyxy2()4()120xyxy2()6xyxy舍或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[6,)4解法二：由0,0xy，3(1)3xyxyxyx知1x，则31xyx，由30011xyxx，则：2233(1)5(1)44(1)51111xxxxxxyxxxxxx42(1)591xx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。3144441(1)22(1)2611111xxxyxxxxxxxxxx，当且仅当41(0)31xxxx即，并求得3y时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、添、减项（配常数项）例1求函数221632yxx的最小值.分析：221632xx是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而212x可与22x相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即22163662yxx，再用均值不等式.22222221620,32163(2)621623(2)62836xyxxxxxx解：当且仅当22163(2)2xx，即24323x时,等号成立.所以y的最小值是836.评注为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.52、配系数（乘、除项）例2已知0,0xy，且满足3212xy，求lglgxy的最大值.分析lglglg()xyxy,xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式xy是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326xy，再用均值不等式.220,032lglglg()lg6132112lglg6262lg6xyxyxyxyxy解：当且仅当32xy，即2,3xy时，等号成立.所以lglgxy的最大值是lg6.评注本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用22abab来解决.3、裂项例3已知1x，求函数521xxyx的最小值.分析在分子的各因式中分别凑出1x，借助于裂项解决问题.141110,144(1)52(1)5119xxxyxxxxx解：当且仅当411xx，即1x时，取等号.所以min9y.64、取倒数例4已知102x，求函数2(1)(12)xyxx的最小值.分析分母是x与(12)x的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解由102x，得10x，120x.取倒数，得221(12)1312(1)31131211113212xxxxyxxxxxxx当且仅当31211xxxx，即15x时，取等号.故y的最小值是12.5、平方例5已知0,0xy且22283yx求262xy的最大值.分析条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式262xy平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.2222222222(62)(62)32(1)32(1)9333()22yxyxyxyx解：7当且仅当222(1)3yx，即32x，422y时，等号成立.故262xy的最大值是932.评注本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为262xy，先配系数，再运用均值不等式的变式.6、换元（整体思想）例6求函数225xyx的最大值.分析可先令2xt，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.222,0,2,(0)2100;1120141222122=.232,.24xttxttytttytytttttttx解：令则当时，当时，当且仅当，即时，取等号所以时取最大值为7、逆用条件例7已知191(0,0)xyxy,则xy的最小值是（）.分析直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求xy的最小值.这时可逆用条件，即由191xy，得19()()xyxyxy，然后展开即可解决问题.8190,0,1199()()109210169,4,12.16.xyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyxy解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是评注若已知0,0,xy1xy(或其他定值)，要求19xy的最大值，则同样可运用此法.8、巧组合例8若,,0abc且()423aabcbc,求2abc的最小值.分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用2abab+b来解决.换个思路，可考虑将2abc重新组合，变成()()abac，而()()abac等于定值423，于是就可以利用均值不等式了.2,,0,2()()2()()22423232,,31.2232.abcabcabacabacaabacbcbcbcaabc解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、消元例9、设,,xyz为正实数，230xyz，则