吴松-2009-Unknown-利用-vasp-计算不同晶系晶体弹性常数

利用VASP计算不同晶系晶体弹性常数吴松[e-mail]2009年7月27日摘要本文结合不同晶系不同的弹性模量矩阵元，给出计算不同晶系晶体应变的施加方法和Cij的关系。一、弹性常数的基本概念可以参考各种固体物理书，以及参考文献2。二、不同晶系晶体的弹性应变能与应变关系应变存在六个独立分量，可以表示为123456(,,,,,)eeeeeee(1)施加应变后体系前后总能的变化可以表示为66112ijijijVECee(2)由于不同晶系独立的弹性常数互不相同，通过对照不同晶系的弹性模量矩阵元，可以得到不同的应变施加方法。1、立方晶系立方晶系的矩阵元[1]为，其中C的下标对应于i和j，在施加应变时，对应于ei(i=1~6)，在计算弹性模量中，将需要施加应变的分量设为相同的。111212121112121211444444000000000000000000000000CCCCCCCCCCCC带入(2)式，可以得到下式：111111221133121212131221122312311232444444554466(2)VECeeCeeCeeCeeCeeCeeCeeCeeCeeCeeCeeCee(3)首先考虑较简单的C44，i和j都等于4，又由上述矩阵元，C44=C55=C66，带入(2)式，设定(1)式为(0,0,0,,,)e，可得：444444554466(2V)ECeeCeeCee(4)因此，24432ECV。同理，设定(,,0,0,0,0)e，可得：1111112212121221(2V)ECeeCeeCeeCee(5)因此，21112()ECCV。在此基础上，施加(,,,0,0,0)e，可得：111111221133121212131221122312311232(2)VECeeCeeCeeCeeCeeCeeCeeCeeCee(7)因此，211123(2)2ECCV。上述三个方程，经过拟合，可以得到三个独立的弹性常数C11、C12和C44。2、六角晶系六角晶系的矩阵元[1]为111213121113131333444411120000000000000000000000002CCCCCCCCCCCCC，体系共有5个独立分量：C11、C12、C13、C33和C44。类似于上述对于立方晶系的分析，由参考文献2，可以给出下表：应变总能变化(,,0,0,0,0)e21112()ECCV(0,0,0,0,0,)e211121()4ECCV(0,0,,0,0,0)e23312ECV(0,0,0,,,0)e244ECV(,,,0,0,0)e233111213(22CECCCV)3、三角晶系(1)、32，3m，32/m该种对称性的晶体的矩阵元[1]为：111213141211131413133314144444141112140000000000000000002CCCCCCCCCCCCCCCCCCC，相对于六角晶系多出一个独立分量C14，共六个独立分量。应变与能量关系表为：应变总能变化(,,0,0,0,0)e21112()ECCV(0,0,0,0,0,)e211121()4ECCV(0,0,,0,0,0)e23312ECV(0,0,0,,,0)e244ECV(,,,0,0,0)e233111213(22CECCCV)(0,0,0,0,,)e214ECV(2)、3，3该种对称性的晶体的矩阵元[1]为：111213141512111314151313331414444515154414111245140000000000002CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC，相对于上述第一种晶系多出两个独立分量C15和C45，共八个独立分量。应变与能量关系表为：应变总能变化(,,0,0,0,0)e21112()ECCV(0,0,0,0,0,)e211121()4ECCV(0,0,,0,0,0)e23312ECV(0,0,0,,,0)e244ECV(,,,0,0,0)e233111213(22CECCCV)(0,0,0,0,,)e214ECV(0,,0,0,0,)e215ECV(0,0,0,,0,)e245ECV4、四方晶系(1)、422，4mm，42m，4/mmm该种对称性的晶体的矩阵元[1]为：，共六个独立分量，应变与能量关系表为：111213121113131333444466000000000000000000000000CCCCCCCCCCCC应变总能变化(,,0,0,0,0)e21112()ECCV(0,0,0,0,0,)e26612ECV(0,0,,0,0,0)e23312ECV(0,0,0,,,0)e244ECV(,,,0,0,0)e233111213(22CECCCV)(0,,,0,0,0)e2331113()22CCECV(2)、4，4，4/m该种对称性的晶体的矩阵元[1]为：，共七个独立分量，应变与能量关系表为：1112131612111316131333444416166600000000000000000000CCCCCCCCCCCCCCCC应变总能变化(,,0,0,0,0)e21112()ECCV(0,0,0,0,0,)e26612ECV(0,0,,0,0,0)e23312ECV(0,0,0,,,0)e244ECV(,,,0,0,0)e233111213(22CECCCV)(0,,,0,0,0)e2331113()22CCECV(,0,0,0,0,)e216ECV5、正交晶系该种对称性的晶体的矩阵元[1]为：，共九个独立分量，应变与能量关系表为：111213122223132333445566000000000000000000000000CCCCCCCCCCCC应变总能变化(,0,0,0,0,0)e21112ECV(0,,0,0,0,0)e22212ECV(0,0,,0,0,0)e23312ECV(0,0,0,,0,0)e24412ECV(0,0,0,0,,0)e25512ECV(0,0,0,0,0,)e26612ECV(,,0,0,0,0)e2112212()22CCECV(0,,,0,0,0)e2332223()22CCECV(,0,,0,0,0)e2331113()22CCECV6、单斜晶系该种对称性的晶体的矩阵元[1]为：，共十三个独立分量，应变与能量关系表为：11121316122223261323333644454555162636660000000000000000CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC应变总能变化(,0,0,0,0,0)e21112ECV(0,,0,0,0,0)e22212ECV(0,0,,0,0,0)e23312ECV(0,0,0,,0,0)e24412ECV(0,0,0,0,,0)e25512ECV(0,0,0,0,0,)e26612ECV(,,0,0,0,0)e2112212()22CCECV(0,,,0,0,0)e2332223()22CCECV(,0,,0,0,0)e2331113()22CCECV(0,0,0,,,0)e2554445()22CCECV(,0,0,0,0,)e2661116()22CCECV(0,,0,0,0,)e2662226()22CCECV(0,0,,0,0,)e2336636()22CCECV7、三斜晶系该种对称性的晶体的矩阵元[1]为：，共二十一个独立分量，应变与能量关系表为：111213141516122223242526132333343536142434444546152535455556162636465666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC应变总能变化(,0,0,0,0,0)e21112ECV(0,,0,0,0,0)e22212ECV(0,0,,0,0,0)e23312ECV(0,0,0,,0,0)e24412ECV(0,0,0,0,,0)e25512ECV(0,0,0,0,0,)e26612ECV(,,0,0,0,0)e2112212()22CCECV(0,,,0,0,0)e2332223()22CCECV(,0,,0,0,0)e2331113()22CCECV(0,0,0,,,0)e2554445()22CCECV(,0,0,0,0,)e2661116()22CCECV(0,,0,0,0,)e2662226()22CCECV(,0,0,,0,0)e2114414()22CCECV(,0,0,0,,0)e2551115()22CCECV(0,,0,,0,0)e2224424()22CCECV(0,,0,0,,0)e2552225()22CCECV(0,0,,,0,0)e2334434()22CCECV(0,0,,0,,0)e2335535()22CCECV(0,0,0,,0,)e2664446()22CCECV(0,0,0,0,,)e2556656()22CCECV(,0,0,0,0,)e2661116()22CCECV8、各向同性介质该种对称性的晶体共二个独立分量，它的弹性模量矩阵元[1]可以表示为以下矩阵：111212121112121211111211121112000000000000002000002000002CCCCCCCCCCCCCCC，应变与能量关系表为：应变总能变化(,0,0,0,0,0)e21112ECV(0,0,0,,0,0)e211121()4ECCV对于以上各种晶系，n个独立的分量对应于n个方程，通过拟合得到由n个方程组成的方程组，可解出各分量的弹性常数。三、计算步骤参见参考文献2。参考文献：1、方俊鑫，陆栋，《固体物理学》(上册)，上海科学技术出版社，1980。2、侯柱锋，《采用VASP如何计算晶体的弹性常数Cij》。