现代数字信号处理题解

第1页，共10页现代数字信号处理复习题一、填空题1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：（1）x(t)的均值为与时间无关的常数：Ctmx)(（C为常数）；（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(xiixjixRttRttR；（3）信号的瞬时功率有限，即：)0(xxRD。高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪声信号。信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均。广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为：，其时间自相关函数的定义为：。2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E定义为：其功率P定义为：离散随机信号f(n)在区间上的能量E定义为：其功率P定义为：注意:(1)如果信号的能量0E∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。(2)如果信号的功率0P∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。4、对平稳随机信号，其自相关函数为)(xR，自协方差函数为)(xC，（1）当0时，有：)(xR=xD，)(xC＝2x。（2）当时，有：)(xR=2xm，)(xC＝0。第2页，共10页5、高斯－马尔可夫随机信号的自相关函数的一般表达式可表示为:||)(eRx＝。6、高斯–马尔可夫信号)(tx的自相关函数为||410)(eRx＝，其均值0)(xxRm，均方值10)0(xxRD,方差102xD。其一阶概率密度函数的表达式为：102exp201)(2xxp。注意：（1）)()()(22tmttDxxx（2）一阶高斯随机信号的概率密度函数为：222)(exp21)(xmxxp，式中，xxDR)0(27、求)1(MA的功率谱的一般表达式为:212221)()(jjxeeHS。8、由Wold分解定理推论可知，任何AR或ARMA序列均可用无限阶的惟一MA模型MA(∞)来表示。9、经典功率谱估计的方法主要有周期图法(直接法)和相关图法(间接法)两大类。对经典谱估计方法的改进措施主要有:(1)经典谱估计性能分析；(2)Bartlett法谱估计；(3)Welch法谱估计。10、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指：在最小均方误差（MMSE）准则下，误差e(n)与每一个输入样本x(n-k)都是正交的。11、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越大，收敛速度越快；最小特征值越小，收敛速度越慢。12、谱估计的分辨率是指估计值)(ˆS保证真实谱)(S中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度。注意：主瓣越宽，分辨率越低。二、问答题1、什么叫能量信号？什么叫功率信号？答：（1）如果信号的能量0E∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。（2）如果信号的功率0P∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。2、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？答：（1）具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。（2）对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。注意：因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。也就是说，因果系统的响应不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。3、如何判断一个线性时不变系统是稳定的？答：一个线性时不变系统是稳定的充要条件：nnh)(（1）充分性：如果nnh)(成立，对有界的输入，输出也是有界的；（2）必要性：如果系统稳定，nnh)(成立。第3页，共10页4、强平稳随机信号和广义平稳随机信号是如何定义的？答：（1）（2）5、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：))(()()(xjxxRFdeRSdeSRjxx)(21)((2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：mjmxjxemReS)()(deeSmRmjjxx)(21)(6、试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。答：第4页，共10页7、什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？答：假设估计量为a（a可以是均值、方差、自相关函数等），它的估计值为aˆ，如果aaE)ˆ(，则称aˆ为a的无偏估计，否则称aˆ为有偏估计；定义估计的偏差为：aaEb)ˆ(~，如果估计值aˆ不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋近于真实的估计量，即：0])ˆ([limaaEN，则称估计值aˆ为渐近无偏估计。8、请写出ARMA),(qp的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）ARMA),(qp的数学模型表达式：式中，qp,...,,,,...,,2121为常数，100（2）该模型的电路框图如下所示：9、请写出AR)(p的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）AR)(p的数学模型表达式:（2）该模型的电路框图如下所示：注意：AR)(p模型又称全极点模型。10、请写出MA)(q的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）MA)(q的数学模型表达式:（2）该模型的电路框图如下所示：注意：MA)(q模型又称全零点模型。第5页，共10页11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？答：谱估计的分辨率是指估计值)(ˆS保证真实谱)(S中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度,主瓣越宽，分辨率越低。12、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。（2）此方法的具体步骤是：①给出观察序列)1(),...,1(),0(Nxxx，估计出自相关函数：mNnNmN，mnxnxNmR1011)()(1)(ˆ②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：mjMMmemmRS)()(ˆ)(ˆ式中，一般取1Nm，)(m为一个窗函数，通常可取矩形窗。可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。13、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？答：（1）AR谱估计的基本原理是：p阶的AR模型表示为：piinuinxnx1)()()(其自相关函数满足以下YW方程：取pm,...,2,1,0，可得到如下矩阵方程：在实际计算中，已知长度为N的序列)(nx，可以估计其自相关函数)(ˆmRx，再利用以上矩阵方程，直接求出参数p,...,,21及2，于是可求出)(nx的功率谱的估计值。（2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：001)0()1()()1()0()1()()1()0(21pxxxxxxxxxRpRpRpRRRpRRR第6页，共10页14、Burg算法有什么特点？答：(1)不需要估计自相关函数)(ˆnRm,而是从数据)(nx直接求解；(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；(3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当；(4)Burg算法估计的参数满足，p，，，ii...211，即求出的AR模型总是稳定的；(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。15、试简要说明设计维纳滤波器的一种方法。答：如果设计的滤波器是线性非时变的，并按照最小均方误差准则来设计，得到的滤波器即是维纳滤波器。16、梯度搜索法的基本原理是什么？Widrow提出的LMS算法与基本梯度法有何不同？试写出Widrow提出的LMS算法的基本步骤。答：（1）梯度搜索法的基本原理：课本第165页（2）Widrow提出的LMS算法与基本梯度法的区别：课本第168页（3）Widrow提出的LMS算法的基本步骤：课本第168页三、证明题1、均值函数、均方函数及方差函数三者之间满足如下关系：)()()(22tmttDxxx。证明：第7页，共10页2、试证明：对于广义平稳随机信号，其自相关函数、自协方差函数与均值之间如下关系：2)()(xxxmCR。证明：3、对平稳随机序列，设110,,Nxxx，是观察到的N个样本，如果其均值xm已知，对方差的估计为：1022)(1ˆNnxnxmxN，请证明，此估计是无偏的，并且是一致的。证明：4、令)(nx是一个平稳白噪声过程，它的均值为零、方差为2。又令)(ny是冲激响应为)(nh的线性非移变系统在输入为)(nx时的输出。(a)证明2)0()]()([xhnynxE；第8页，共10页(b)证明kxynh)(222。证明：四、计算题1、对随机初相正弦信号随机相位正弦信号00,),sin()(AAtX为常数，是在]2,0[间均匀分布的随机变量，试考察此信号是否是广义遍历的？写出计算过程。（15分）2、对如下)1(AR的随机信号：)()1()(nunaxnx，求其的自相关函数及功率谱密度函数。（10分）3、设随机信号000,sincos)(tBtAtx为正常数，BA,为相互独立的随机变量，且2)()(,0)()(BDADBEAE。试讨论)(tx的平稳性。4、根据图题15，写出平稳信号)(tx的自相关函数)(tx的表达式，并求信号)(tx的均值、均方值、自协方差函数和方差。第9页，共10页5、如下)1(AR的随机信号：)()1(2)(nunxnx，u(n)是零均值的高斯白噪声，求信号x(n)的自相关函数及功率谱密度函数。该AR系统是否是稳定的？（10分）6、已知零均值白噪声信号u(n)的瞬时功率为1，试计算二阶)2(MA模型)2(2)1()()(nunununx的自相关函数及功率谱密度。该模型是否是稳定的？（10分）7、如图所示单权自适应滤波器，且：1)]1()([,1)]()([,4)]([,5.0)]1()([,1)]([22nxndEnxndEndEnxnxEnxE(a)试导出误差性能函数表达式，大致画出误差性能函数的图形；(b)求出最佳滤波器系数及最小均方误差；(c)如果用LMS算法来设计此滤波器，请写出完整的LMS迭带算法。)(nx)(nd1)(n1z8、设原始信号为.nx定义,1LnxnyL为正整数,试推导zY与zX之关系.(15分)第10页，共10页9、设输入信号x服从分布其它,0]1,0[,2)(xxxf,对x进行二层量化（1bit量化），求最佳量化区间及量化电平.失真测度采用平方距离.（15分）10、用)(AR