用二重积分计算旋转体的体积

四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用1用二重积分计算旋转体的体积蜀南竹海四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用2作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、最后，举例加以说明。四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用3先看特殊的情形旋转轴为坐标轴四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用4设D是上半平面内的一个有界闭区域。将D绕x轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积Vx。我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。D四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用5d(,)xyD在区域D的(x,y)处取一个面积元素d它到x轴的距离是y（如图）。该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：2xVydd（体积元素）于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：2xDDdVdyVy四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用6d(,)xyD命题1：上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：2xDydVy四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用7d(,)xyD命题2：右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：2yDxdV同理x四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用8下面针对不同的区域将二重积分化为定积分得到熟悉的旋转体体积公式四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用9x型区域绕x轴旋转四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用10{(,)|,0()}Dxyaxbyfxxy=f(x)bDa如果()2022()bfxbxaaDVdxydyfddxyx圆片法则D绕x轴旋转的旋转体体积为：2()bxaVfxdx四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用11{(,)|,0()()}Dxyaxbgxyfxy=f(x)bDay=g(x)如果则D绕x轴旋转的旋转体体积为()()2222[()()]bfxxagxDbaVdxydyfxgxdxdy垫圈法22[()()]bxaVfxgxdxx四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用12y型区域绕y轴旋转四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用13{(,)|,0()}Dxycydxfyx=f(y)dDc如果则D绕y轴旋转的旋转体体积为：()0222()dfyycDdcVdyxdxfddyxy圆片法2()dycVfydyy四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用14yx=f(y)dDcx=g(y){(,)|,0()()}Dxycydgyxfy如果则D绕y轴旋转的旋转体体积为：()()2222[()()]dfyycgyDdcVdyxdxfygydydx垫圈法22[()()]dycVfygydy四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用15x型区域绕y轴旋转！注意：一般教材没有介绍这个公式。四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用16{(,)|0,()()}Dxyaxbgxyfxxy=f(x)bDay=g(x)如果则D绕y轴旋转的旋转体体积为：()()222[()()]yDbfxagxbaVdxdyfxgxdxxdxx柱壳法y2[()()]byaVfxgxxxd四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用17下面看一个极坐标的情形四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用18{(,)|0,0()}DrrrD如果D是曲边扇形：()0322sin2()sin3rxDVdrrdrrydd则D绕极轴(x轴)旋转的旋转体体积为：()rr32()sin3xVrd四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用19我们用命题1来推导一个有关区域D的形心(质心)和旋转体体积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用20(,)xyD上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积等于该区域的形心所经过的路程与D的面积A的乘积。12xDydV证由命题y古尔丁定理2Ddy12DAAdy2Ay形心A四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用21(,)xyDy形心A如果你很容易求得D的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用22下面来看一般的情形一般的区域&一般的旋转轴四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用23设D是xOy坐标平面内的一个有界闭区域。直线L与D的内点不相交（如图）。将D绕直线L旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积V。我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。DL四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用24d(,)xyD在区域D的(x,y)处取一个面积元素d它到直线L的距离是：该面积元素绕L旋转而成的旋转体的体积约为：2dVdd于是整个区域D绕直线L旋转而成的旋转体的体积为：2DDVddVdd设直线L的方程为ax+by+c=0。22axbycdabL四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用25d(,)xyD222DVaxbycdabd命题3区域D绕直线ax+by+c=0（D在直线的一侧）旋转而成的旋转体的体积为：L四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用26下面举几个例子来说明命题3中的公式的应用所有计算都用数学软件Maple验证了四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用27例1求由y=2x和y=x2所围区域D绕直线y=2x旋转的旋转体体积V。222022(2)52516575DxxVdxydxxdyy解f:=(x,y)-2*x-y;x1:=0:x2:=2:y1:=x-x^2:y2:=x-2*x:int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);(2*Pi/sqrt(5))*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=(2*Pi/sqrt(5))*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);255d02dx22x2xyyx16575D22yx2yxwith(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用28例2求由x=y2和y=x2所围区域D绕直线y=x-1旋转的旋转体体积V。21022(1)2123DxxVdxdyxyxyd解f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x^2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);D12yx2xywith(plots):quxian:=implicitplot([y=x^2,x=y^2,y=x-1],x=-1..3,y=-1..2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);2d01dx2xyx1yx23四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用29例3求由y=0,y=lnx和x=e所围区域D绕直线y=-x旋转的旋转体体积V。ln10222()32()4242DexVdxxydydexye解f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x^2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1..y2);int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=x1..x2);D1lnyxwith(plots):quxian:=im