专题：与极值点有关的证明问题

第1页共32页专题:与极值（点）有关的证明问题例1设函数2()ln(1),fxxaxaR．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若函数()fx有两个极值点12,xx，且12xx，求证：222()(1)efxx．例2设函数2ln2fxxax，且fx存在两个极值点12,xx，其中12xx．(1)求实数a的取值范围；(2)证明不等式：1210fxx．例3已知函数()ln2,fxxaxaR．(1)若函数()yfx存在与直线20xy平行的切线，求实数a的取值范围；(2)设21()()2gxfxx，若()gx有极大值点1x，求证：1212ln1xaxx．第2页共32页例4设函数2()ln(1)fxxax=++,aÎR．(1)若函数()fx在[1,)+?上单调递增,求a的取值范围；(2)若函数()fx有两个极值点12,xx,且12xx.求证21()10ln22fxx-．例5已知函数2ln2afxxxxxaaR在定义域内有两个不同的极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)记两个极值点为12,xx，且12xx，已知0，若不等式12xxe恒成立，求的取值范围．例6已知函数2ln2afxxxxaR．(1)若0x，恒有xxf)(成立，求实数a的取值范围；(2)若0a，求)(xf在区间2,tt）（0t上的最小值；(3)若函数gxfxx有两个极值点12,xx，求证：12112lnlnaexx.第3页共32页例7已知函数ln,xfxaxxFxeax，其中0x.(1)若0a，fx和Fx在区间0,ln3上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；(2)设函数2hxxfx有两个极值点12xx、，且110,2x，求证：123ln24hxhx.例8已知函数()lnfxxxx，2()()2agxxaxaR.(1)若()fx和()gx在(0,)有相同的单调区间，求a的取值范围；(2)令()()()hxfxgxax（aR），若()hx在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为1x，2x，证明：212xxe．第4页共32页例9已知函数2()1ln(1)fxxax，aR．(1)若函数()fx为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若函数()fx存在两个极值点1x，2x，且12xx，证明：1221()()fxfxxx．例10设函数)2ln()(2xaxxf，xxexg)(，且)(xf存在两个极值点1x、2x，其中1x2x．(1)求实数a的取值范围；(2)求)(21xxg的最小值；(3)证明不等式：0)(21xxf．第5页共32页练习题1．已知函数xxxf2)(,xxgln)(．(1)求函数()()()Gxfxgx的极值；(2)若)()(xagxf恒成立,求实数a的值；(3)设)()()(xmgxfxF)(Rm有两个极值点1x、2x(1x2x),求实数m的取值范围,并证明162ln43)(2xF．2．已知函数f(x)＝alnx＋12x2－ax(a为常数)．(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点分别为1x、2x，不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．第6页共32页3．已知21()ln,2fxxxmxxmR．(Ⅰ)当2m时，求函数()fx的所有零点；(Ⅱ)若()fx有两个极值点12,xx，且12xx，求证：212xxe(e为自然对数的底数).4．已知函数3221103fxxxax在，上有两个极值点12xx，且12xx．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：21112fx．5．已知函数2()()xfxaxeaR．(1)当1a时，判断函数()fx的单调区间并给予证明；(2)若()fx有两个极值点1212,()xxxx，证明：1()12efx．第7页共32页6．已知函数2()lnxafxx(其中a为常数)．(1)当0a时，求函数的单调区间；(2)当01a时，设函数)(xf的3个极值点为123,,xxx，且123xxx.证明：132xxe.7．已知)1ln()(xaxf,bxxxg2)(,)()1()(xgxfxF,其中Rba,.(1)若)(xfy与)(xgy的图像在交点(2,)k处的切线互相垂直,求ba,的值；(2)若2x是函数)(xF的一个极值点,0x和1是)(xF的两个零点,且0(,1)xnn，*nN,求n的值；(3)当2ab时,若1x,2x是)(xF的两个极值点,当121xx时,求证:12()()34ln2FxFx.第8页共32页8．(2018·湖南长沙一模)设函数f(x)＝x2－2x＋1＋alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则f(x2)的取值范围是()A.0，1＋2ln24B.－∞，1－2ln24C.1＋2ln24，＋∞D.1－2ln24，09．已知函数xxxaxxfln)(2，2)(xexgx(e为自然对数的底数)．(Ⅰ)当x∈[0，＋∞)时，求)(xg的最小值；(Ⅱ)若函数)(xf恰有两个不同极值点1x、2x．①求a的取值范围；②求证：221exx．10．已知函数()ln1xmfxxe（mR），其中无理数2.718e…．(1)若函数()fx有两个极值点，求m的取值范围．(2)若函数3211()(2)32xgxxemxmx的极值点有三个，最小的记为1x，最大的记为2x，若12xx的最大值为1e，求12xx的最小值．第9页共32页专题与极值（点）有关的证明问题答案例1解：（Ⅰ）函数()fx的定义域为(1,)，222()211axxafxxxx令2()22gxxxa，则48a．①当12a时，0,()0gx，从而()0fx，故函数()fx在(1,)上单调递增；②当12a时，0,()0gx的两个根为12112112,22aaxx，当0a时，121xx，此时，当112(1,)2ax函数()fx单调递减;当112(,)2ax函数()fx单调递增．当102a时，121xx,此时函数()fx在区间112112(1,),(,)22aa单调递增;当112112(,)22aax函数()fx单调递减．综上:当12a时，函数()fx在(1,)上单调递增；当102a时，函数()fx在区间112112(1,),(,)22aa单调递增;在区间112112(,)22aa函数()fx单调递减;当0a时，112(1,)2ax函数()fx单调递减,112(,)2ax函数()fx单调递增（Ⅱ）当函数()fx有两个极值点时,102a,21121(,0)22ax,且2222()220gxxxa即22222axx,第10页共32页2222222222()ln(1)(22)ln(1)fxxaxxxxx21(,0)2x22222()2(1)ln(1)fxxxxx21(,0)2x令()2(1)ln(1)hxxxx1(,0)2x()2ln(1)1hxx,令11()0,(,1)2ehxx,函数单调递增;令1()0,(1,0)ehxx,函数单调递减;max12()(1)1eehxh22()21efxx,21(,0)2x222()(1)efxx．例2解：（Ⅰ）由题意，()2(2)2afxxxx，∵函数()fx存在两个极值点12,xx，且12xx，∴关于x的方程202axx，即2240xxa在(2,)内有两个不相等实根．令2()24xxxa，则1680,(2)0.a解得20a．所以，实数a的取值范围(2,0)（Ⅱ）由（Ⅰ）知12122,22,10.axxxxx∴2111222222()ln(2)42(2)ln()4fxxaxxxxxxx，令2xx，则01x，且12()42(2)ln4fxxxxxx，令4()2(2)ln4(01)Fxxxxxx，则-第11页共32页2242(2)44()12ln2ln1(01)xFxxxxxxxx∴23238422(24)()xxFxxxxx，∵01x，∴()0Fx即()Fx在(0,1)上是减函数，∴()(1)10FxF，∴()Fx在(0,1)上是增函数，∴()(1)1FxF，即12()1fxx，所以，12()10fxx．例3（1）因为1()2,0fxaxx因为函数()yfx存在与直线20xy平行的切线，所以()2fx在(0,)上有解即122ax在(0,)上有解，也即122ax在(0,)上有解，所以220a，得1a故所求实数a的取值范围是(1,)（2）因为2211()()ln222gxfxxxxax因为2121()2xaxgxxaxx①当11a时，()gx单调递增无极值点，不符合题意②当1a或1a时，令()0gx，设2210xax的两根为1x和2x，因为1x为函数()gx的极大值点，所以120xx，又12121,20xxxxa，所以11,01ax，所以211111()20gxxaxx，则21112xax要证明1211ln1xaxx，只需要证明2111ln1xxax因为332111111111111ln1ln1ln1222xxxxxaxxxxxx，101x，第12页共32页令31()ln122xhxxxx，(0,1)x所以231()ln22xhxx，记231()ln22xpxx，(0,1)x，则2113()3xpxxxx当303x时，()0px，当313x时，()0px，所以max33()()1ln033pxp，所以()0hx所以()hx在(0,1)上单调递减，所以()(1)0hxh，原题得证例4(1)根据题意知:222()01xxafxx++¢=?+在[1,)+?上恒成立.即22axx?-在区间[1,)+?恒成立.222xx--在区间[1,)+?上的最大值为4-,4a\?;经检验:当4a=-时,满足要求,故4a?.(2)由函数定义域为[1,)-+?,函数有两个极值点12,xx,所以()0fx¢=即2()220gxxxa=++=在(1,)-+?上有两个不等式的实根12,xx,则4801102(1)0agaìD=-ïïïïï--íïïïï-=ïî解得10.2a因为12121,,2axxxx+=-=且12xx,所以121xx=--,122222(1)axxxx==-+,2102x-.所以222222222112()ln(1)2(1)ln(1)1fxxaxxxxxxxx++-++==--,21(,0)2x?令22(1)ln(1)1(),(,0)12xxxxhxxx-++=?--,则22()2ln(1)(1)xhxxx¢=+++,令221()2ln(1),(,0)(1)2xxxxxj=++?+,则232(3