定积分的概念

定积分与微积分定理1．定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn），在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx其中()fx成为被积函数，x叫做积分变量，[,]ab为积分区间，b积分上限，a积分下限。说明：（1）定积分()bafxdx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时）称为()bafxdx，而不是nS．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间,ab；②近似代替：取点1,iiixx；③求和：1()niibafn；④取极限：1()limnbianibafxdxfn（3）曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功()baWFrdr2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()bafxdx的几何意义是介于x轴、函数()fx的图形以及直线,xaxb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()yfx，若()yfx在[,]ab上可取负值。考察和式12()infxxfxxfxxfxx不妨设1(),(),,()0iinfxfxfx于是和式即为121(){[()][]}iinfxxfxxfxxfxxfxx()bafxdx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1abdxba1性质2babadxxfkdxxkf)()(（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx（定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx③性质解释：2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式定理：如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数()fx的任意一个原函数，则()()|()()bbaafxdxFxFbFa该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的PCNMBAabOyxy=1yxOba性质1性质4AMNBAMPCCPNBSSS曲边梯形曲边梯形曲边梯形学科，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，说明：①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。我们可以用()fx的原函数（即满足()()Fxfx）的数值差()()FbFa来计算()fx在[,]ab上的定积分.②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。思考并回答下列问题：①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗？如果不唯一，它们之间什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？②计算定积分()bafxdx的关键是什么？③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么？④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数典例分析例1．计算定积分21(1)xdx分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。即：215(1)2xdx思考：若改为计算定积分22(1)xdx呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）1.（2014·湖北高考理科·Ｔ6）若函数f(x)，()gx满足11()g()d0fxxx，则称f(x)，()gx为区间[-1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos22fxxgxx；②()1,g()1fxxxx；③2(),g()fxxxx其中为区间]1,1[的正交函数的组数是（）12yxo(1)()cos,()fxxFx若则(2)()sin,()fxxFx若则(3)(),()xfxeFx若则1(4)(),()fxFxx若则(5)(),()nfxxFx若则3(6)(),()fxxFx若则21(7)(),()fxFxx若则(8)(),()fxxFx若则A.0B.1C.2D.3【解题提示】考查微积分基本定理的运用【解析】选C.对①，1111111111(sincos)(sin)cos|02222xxdxxdxx，则)(xf、)(xg为区间]1,1[上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033xxdxxdxxx，则)(xf、)(xg不为区间]1,1[上的正交函数；对③，1341111()|04xdxx，则)(xf、)(xg为区间]1,1[上的正交函数.[来源:Z,xx,k.Com]所以满足条件的正交函数有2组.2.（2014·山东高考理科·Ｔ6）直线4yx与曲线3yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）[来源:学科网ZXXK]A、22B、42C、2D、4[来源:学+科+网]【解题指南】本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积.【解析】选D.由34xyxy，得交点为8,2,8,2,0,0，所以402412442203xxdxxxS，故选D.[来源:Zxxk.Com]3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分(2x+ex)dx的值为()[来源:Zxxk.Com]A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解题指南】求出被积函数2x+ex的原函数,然后根据定积分的定义解之.【解析】选C.(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e-1=e.4.（2014·福建高考理科·Ｔ14）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.【解题指南】本题考查了反函数在图象上的性质，利用对称性，将问题化为可利用定积分求解面积的问题。【解析】xye和lnyx互为反函数，不妨将样本空间缩小到左上方的三角形，则102221()()021122xxexeeeSpSeee．【答案】22e5.已知f(x)为偶函数且60f(x)dx＝8，则66f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16解析：原式＝06f(x)dx＋60f(x)dx，∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，∴对应的面积相等，即8×2＝16.答案：D6．设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈[1，2]，则20f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在解析：数形结合，20f(x)dx=10x2dx+21(2-x)dx=321211(2)3021xxx=3115(422)326x.答案：C7．计算以下定积分：(1)21(2x2－1x)dx；(2)32(x＋1x)2dx；(3)30(sinx－sin2x)dx；解：(1)21(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)21＝163－ln2－23＝143－ln2.(2)32(x＋1x)2dx＝32(x＋1x＋2)dx＝(12x2＋lnx＋2x)32＝(92＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln32＋92.(3)30(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋12cos2x)30＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.题组二求曲多边形的面积8．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A．1B.43C.3D．2解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于20(－x2＋2x＋1－1)dx＝20(－x2＋2x)dx＝43.答案：B9．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为43，则k＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由0k(kx－x2)dx＝(kx22－x33)0k＝k36＝43求得k＝2.答案：210．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．解析：设直线OP的方程为y＝kx,P点的坐标为(x，y)，则0x(kx－x2)dx＝2x(x2－kx)dx，即(12kx2－13x3)0x＝(13x3－12kx2)2x，解得12kx2－13x3＝83－2k－(13x3－12kx2)，解得k＝43，即直线OP的方程为y＝43x，所以点P的坐标为(43，169)．答案：(43，169)11.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()A.176B.143C.136D.116解析：s＝21(t2－t＋2)dt＝(13t3－12t2＋2t)|21＝176.答案：A12．若1N的力能使弹簧伸长1cm，现在要使弹簧伸长10cm，则需要花费的功为()A．0.05JB．0.5JC．0.25JD．1J解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1N时，x＝0.01m，可解得k＝100N/m，则F＝100x，所以W＝0.10100xdx＝50x20.10＝0.5J.答案：B13．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．解析：据题意，v与t的函数关系式如下：v＝v(t)＝32t，0≤t＜20，50－t，20≤t＜40，10，40≤t≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s＝600()dvtt＝2003d2tt＋4020(50)dtt＋604010dt＝34t2200＋(50t－12t2)4020＋10t4020＝900米．答案：90014.(2010·烟台模拟)若y＝0x(sint＋costsint)dt，则y的最大值是()A．1B．2C．－72D．0解析：y＝0x(sint＋costsint)dt＝0x(sint＋12sin2t)dt＝(－cost－14cos2t)0x＝－cosx－14cos2x＋54＝－cosx－14(2cos2x－1)＋54＝－12cos2x－cosx＋32＝－12(cosx＋1)2＋2≤2.答案：B15．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且10f(x)dx＝5，10xf(x)dx＝176，那么21f(x)xdx的值是________．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由10(ax＋b)dx＝5得(12ax2＋bx)10＝12a＋b＝5，①由10xf(x)dx＝176得10(ax2＋bx)dx＝1