定积分的应用

第十章定积分的应用§1平面图形的面积1．求由抛物线2yx与22yx所围图形的面积。解设所围图形面积为S。如图10-1。解方程组222yxyx，得两曲线两交点坐标为A(-1,1),B(1,1)，则积分区间为[-1，1]。图形面积为11122221118(2)[(2)].3sxdxxdxxxdx2.求由曲线lnyx与直线1,10,010xxy所围图形的面积。解设所围图形总面积为S,110110111110101(ln)ln(ln)(ln)(99ln1081).10sxdxxdxxxxxxx3.抛物线xy22把圆822yx分成两部分,求这两部分面积之比.解设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积,则:34238cos8)28(44222221ddyyys,3462348812ss.292334634221ss.4.求内摆线)0(sin,cos33ataytax所围图形的面积.解设所围图形的全部面积为S.取积分变量为t,当t由2变到0时,就得到曲线在第一象限的部分.2222042202302283)224613522413(12)sin1(sin12)sin(cossin12)()(4aadtttadtttadttxtys5.求心形线)0()cos1(aar所围图形的面积.解设所围图形的面积为S.取积分变量为,当由0变到时,即得到曲线在x轴上方部分.由极坐标系下面积的积分表达式有:20220220223]2sin41sin223[)coscos21(212)cos1(212aadadas.6.求三叶形曲线)0(sin3aar所围图形的面积.解设三叶玫瑰线围成的区域面积为S,取积分变量为,当由0变到6时,就得到曲线在第一象限的部分的一半.(如图10-6)26026022602260226024]22sin[2)2cos1(2sin3sin3sin26aadadadadas.§2由平行截面面积求体积1.如图10-7所示直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得的锲形体的体积.解设垂直与x轴的截面面积函数为A(x),立体体积为V.按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为:.11610022yx由相似三角形边长比的关系知,105Xh所以xh21,又A(x)=1001421100142222xxxxhy所以V=1004x10012xdx=-43400)1001(340050)1001()1001(1002322211002xxdx2.求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积.(1);,0,sin轴绕xxxy解2)2cos1(2sin002dxxxdxv2]2sin21[20xx.(2);,20),0)(cos1(),sin(轴绕xtatayttax解32320223202222025)coscos3cos31()cos1()]sin([)cos1(adttttadttaattadtav.（3）)0()cos1(aar，绕极轴；解)0()cos1(aar为心脏线方程，其极轴（x轴）之上部分的参数方程为,cos)cos1(,sin)cos1(axay0.3233032322320238)cos21)(cossin_cossin2(sinadadxydxyv.（4）.12222byax绕y轴。解.12222byax得221axby，22202234)1(2abdxaxbdxyvaaa.3.已知球半径为r,验证高为h的球缺体积v)).(3(2rhhrh解设球缺体积为v,半径为r,高为h,则由旋转体体积公式有)3(31)(232222hrhxxrdxxrdxyvrhrrhrrhr。§3平面曲线的弧长与曲率1.求下列曲线的弧长。（1）;40,23xxy解由于212323)(xxy,由曲线的弧长公式有)11010(278)491(278491)23(140234040221xdxxdxxs.（2）;1yx解令2ux，则,10),1(2uuy由参数方程下弧长公式)21ln(221)]1ln(2112[22122)12()]1(2[)2(11221121022ttttdttutduuus令.（3）)0,0(sin,cos33tatytax：解ttaxsincos32,ttaycossin32,sadttadttttta62sin23)cos(sincossin320202222.(4));20,0)(cos(sin),sin(costatttaytttax解,cos)sin(costtatttax,sin])cos(sin[ttatttay.22202022adtatdtyxs(5)3sin3ar)30,0(a解adadadaadrrs23)32cos1(213sin3cos3sin3sin)(3030230242423022（6）)20)(0a(ar.解；a)a(r由极坐标下弧长公式)]412ln(241[)]1ln(2112[)()(2220222022aaadaas.2.求下列各曲线在指定点处的曲率:(1)）；，在点（22,4xy解因为,8,4,432xyxyxy所以1,122xxyy.由曲率公式,曲线在(2,2)的曲率为:43)11(1])(1[12323222xxyyk.(2)xyln在点(1,0);解因为1111xxxy,,所以42)11(1232k.(3)的点在2)0)(cos1(),sin(tatayttax.ataxtt22)cos1(ataxtt22sin,;0cos22tttay.由曲率公式有aaaak42)(2322.11121xxxyataytt22sin(4)的点在4)0(sin,cos33tataytax.)sin(cossin3)(cossin3)()sin2(coscos3)(sincos3)(222222tttatyttatytttatxttatxaxt4234axt4234ayt4234ayt4234所以32])423()423[()423()423()(2322222322aaaaayxyxyxk.5定积分在物理中的某些应用1有一等腰梯形闸门,上下两条底边长为10cm和6cm,高为20cm计算当水面与上底面相齐时闸刀门一侧所受的静压力.解如图,由B.C点的坐标(0,5)及(20,3)求出过BC的直线方程为:05010yx,即xy1015由于在相同深度处水的静压强相同.其值等于gx,故当x很小时,闸门上从深度x到x+x这一狭条上受的静压力为gyxdxxdpp2=2gdxxx1015200dpp=gdxxxx20010152=dxxx20025110=14373.33(kN)