向量的几何意义

向量的几何意义向量的概念始终贯穿当代科学的主要内容中，也始终贯穿线性代数的主要内容中，所以我们不妨回顾回顾这个概念的几何意义，以期更清晰地理解线性代数的几何本质。2.1向量概念的几何意义自由向量的概念向量（Vector）和标量的概念是发明四元数的爱尔兰数学家W。R。哈密尔顿给出的。向量是一个既有大小又有方向的量，这个量本身就是个几何的概念。我们常常把它与标量（只有大小的量）相区别。抓住向量的大小和方向这两个特征，一般用一个有向线段来表示一个向量(显然，向量本身就是一个几何图形)，记为ABuuur或者α。如下图：在物理学中，也把向量叫矢量，矢就是箭，向量如一根箭一样有头部和尾部，箭在空间自由的飞行中箭杆的长度不会变，这一点与向量相同；但箭在重力的作用下会改变方向，但一个确定的向量不允许改变方向，一个向量改变了方向就变成了另外一个向量了。所以向量的“飞行”称为平移，这种在一条直线上平移的向量称为自由向量（物理学中常称为滑动向量）。0沿着直线飞行的箭簇在每一时刻所表示的无数向量归属于同一个向量，这些无数的向量实际上是平行的向量。另外还有不在一条直线上的平行而相等的向量，如下的例子：考察一个刚体的平行移动。当刚体从一个位置平行移动到另一个位置时（比如说这个刚体是麦吉小姐过河坐的小船，小船从河流的一边驶向对岸），刚体上各质点在同一时间段内有相同的位移，各点所画出的位移向量a有相同的大小和方向，他们每一个都反映了刚体位移的情况，因此刚体的平移运动可以用这些向量中的任一个来表示。基于这样的原因，凡是两个向量大小相等、方向相同的，我们就说这两个向量是相等的。因此，一个向量在保持长度和方向不变的条件下可以自由平移。如有必要，也可以将几个向量平移到同一个出发点或者坐标原点。a水流速度向量船速向量aaa从上面的例子，我们感悟到自由向量为何可以是自由的。实际上，就是因为向量没有确定的位置，它们不依赖于任何坐标系而存在。因此从逻辑上看，无数的向量可能有相同的表述，所有的这些向量都互相平行，相等，并具有相同的量值和方向。向量的数学表示向量的数学表示一般是用小写的黑体字母a、b、c等表示。当手写时因为黑体的粗笔画书写不方便，因此常在字母上面加上箭头来与其它字母区别，如ar、、cr。以上的表示不便计算，如何对向量象数字一样进行运算呢？因为在数学学科中，向量被处理为自由向量，为了与解析技术所用的坐标联系起来，我们把空间中所有的向量的尾部都拉到坐标原点，这样N维点空间可以与N维向量空间建立一一对应关系：N维点空间中点(0，0，0…0)取作原点，那么每一个点都可以让一个向量和它对应，这个向量就是从坐标原点出发到这个点为止的向量。注：向量被看作线性空间或向量空间中的一个元素。但向量与点不同，向量表示的是两点之间的位移而不是空间中的物理位置；向量还可以确定方向，而一个点就不能。其实，一旦我们确定好一个坐标系，一个向量就与一个点相对应，而点用所谓坐标的有序数组表示的，因此我们就也可以把向量用有序数组表示。有了有序数组就可以运算了。使用有序数组或者解析式表述的向量是把以原点为起点的向量末端的坐标值表示，并把坐标值用圆括号括起来，如(,,)xyz=v。在这里这个有序数组(,,)xyz称之为向量。在二维平面上，由原点引出的向量用两个有序实数表示；在三维空间中，由三个有序数表示三维向量。那么n维向量就可以由以上二维和三维向量的定义推广得到。虽然n维向量的几何意义难以想象，但其现实意义我们还是可以把握的。比如，在三维空间中，我们只要知道一个球的球心位置和半径的大小就可以确定这个球面。把球心坐标和半径值写成有序数组，我们就得到了一个四维向量。321-1-2一个向量可以被分解为三个单位坐标向量的线性表示（实际上这个概念很重要，在今后的向量的运算和矩阵运算理解中起着关键作用）。例如向量(分解如下：1,1,1)(1,1,1)(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)=++=+ijk如下图，把单位坐标向量,,ijk分别首尾连接相加，就得到了的图像。(1,1,1)那么，任意一个向量(,,)xyz=v就可以表示为(,,)xyzxyz==++vijk，即单位坐标向量的线性表示。显然，分别对单位坐标向量进行缩放,,xyz倍然后相加，就得到了这个向量(,,)xyz的图像。和上图相似，我们就可以得到了如下的任意一个向量的分解图像。向量的运算有加法、减法和乘法，乘法有三种，但没有除法。下面我们分别介绍这些运算的细节。2.2向量的加法的几何及物理意义设两个向量a和b，它们的二维分量解析式为(,)xyaaa=，(,)xybbb=；三维分量的解析表达式为(,,)xyzaaaa=，(,,)xyzbbbb=。则我们定义这两个向量的加法为(,xxyyabab+++ab=，或者(,,xxyyzzababab++++ab=。向量加法的定义看起来很简单，就是两个向量的各分量分别对应相加形成了和向量的分量。那么的几何意义是什么呢？请看下面二维向量的图解。=+cab这个图形可以这样解读，表示向量b的分量的矩形被放到表示向量a的分量的矩形上面，a向量矩形的尾端A连接上b向量分量矩形的头端A。叠加后矩形的顶端C就是和向量的尾端。连接BC，AC后，就是平行四边形的法则的几何解释。当然，如果把向量b平移（平行移动）到AC的位置，与向量a的尾部相接，就是三角形的法则。《线性代数的几何意义》abcb'yxCBAobybxaxay向量的所谓三角形或平行四边形法则不是人们凭空想当然的数学规定，而是从物理世界中抽象出来的向量运算法则。比如我们前面提到的船只过河的例子，船头指向的方向是船的马力驱动得到的位移为MotorS（不考虑水流影响），水流的方向是水的冲击力对船造成的位移（不考虑船的马力影响），那么，实际情况是船的真正位移是一条斜线，这条斜线就是WaterSBoatSMotorS和的合成。它们的合成关系就是平行四边形的关系。WaterS如果水的流速和船的马力不变，其中三个时刻（任意）的位移的合成图图下：8642510VMotorVWater0S3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1waterS2boatS1boat如如果水的流速不变，但在第二时刻和第三时刻船的马力逐步变大，那么三个时刻（任意）的位移的合成图图下：=================================================================================第6页，共38页6425100S1boatS2boatS3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1water两个向量的加法叫做三角形法或者平行四边形法，那么多个向量的加法同样也满足这些法则，并可以由三角形法则得到多个向量的多边形法则。下边我们画出多个向量的加法和减法的图例。abcda+b+c+da+ba+b+co上图左是把a，b，c，d四个向量按照三角形法则相加的图例，在图中，我们把a，b，c，d四个向量依次首尾相接，直到画完所有向量，最后只是把第一个向量的尾部o指向最后一个向量的首部P画出的向量就是4个向量的和。这个画法可以称作多向量的多边形加法法则。多边形法则很容易从三角形法则推导出来，上图右中虚线向量即是应用三角形的向量法则画出《线性代数的几何意义》了中间向量逐次相加的结果，最后推出了左图的多边形法则。多变形法则体现在船只过河的例子就是把船的每时刻的位移进行合成，就得到如下图所示：8642510Sboat0S1boatS2boatS3boatS2waterS2motorS1motorS3waterS3motorS1water多向量加法的数学本质，实际上是这些向量在坐标轴上（以0点为坐标原点的坐标系）的投影（或坐标分量）的合成（相加或相减）后的结果。向量的更高一级的运算如点积、叉积的定义也是这个数学本质的体现。关于减法，实际上是加法的特殊形式，是加法的逆运算。向量减法，我们可以用定义加法的方式定义减法，例如定义，只要把被减向量b反向后再与向量a相加即可。实际上在平行四边形法则中，和向量和差向量构成平行四边形的两个对角线。(=−=+−cabababcc'CBAoaa+b+c+dbcda-b-c-do三维向量的加法。=================================================================================第8页，共38页《线性代数的几何意义》2.3向量的内积的几何和物理意义向量的内积的几何解释向量的内积也叫数量积、标积、点积（点积的名称来自于内积的计算符号）等，都是一个意思，就是内积的结果是个数量或者标量。内积的定义有两个，下面我们把它们列举出来并探讨一下它们的关系。ba⋅cosabθ⋅=ab……………………。。1xxyyzababab⋅=++ab…………。2公式1是说，向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦；公式2的意思是向量a和b的坐标分量分别对应乘积的和。定义内积有很多好处，除了物理上的直接应用外，至少我们可以应用这个定义（公式2）去计算一个向量的长度（在已知它的坐标时）。比如我们求向量a的长度：22xxyyzzxyaaaaaaaaaa=⋅=++=++aa。这两个公式有关系吗？当然有：假设我们选一个这样的坐标系，x轴沿向量a的方向，那么xa=，，则公式a0yzaa==xxyyzz=，xab就是a的长度乘以b在a方向上的分量，这个分量就是b在a上的投影，因此公式cosabθ⋅=ab得证（如果它对一个坐标系成立，则对所有的坐标系都成立）。abDCOABθ因此，向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积，也就是同方向的积。特别的，如果一个向量如a是某个坐标轴的单位坐标向量，那么，两个向量的内积就是向量b在此坐标轴上的坐标值。这个结论非常重要，这是傅立叶分析的理论基础。ba⋅另外，对两个向量内积的投影的几何意义可以得到其他的几何解释，这些解释在应用上就显得比较直观。比如，从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。当内积值为正值时，两个向量大致指向相同的方向（方向夹角小于90度）；当内积值为负值时，两个向量大致指向相反=================================================================================第9页，共38页的方向（方向角大于90度）；当内积值为0时，两个向量互相垂直（这个性质经常在向量几何中作为判断直线与直线是否垂直）。笼统说来，内积值越大，两个向量的在方向上的就越接近，内积值越小，两个向量的在方向上的就越相反。上图中，向量a与向量b1方向相近，内积为正；a与b2方向垂直，内积为0；a与b3方向大致相反，内积为负。向量的内积的物理解释向量内积的物理应用或者说物理意义很多，生活中我们也需要内积计算。比如我上周购买的食物的价格向量是P=（蔬菜2元/斤，大米1。5元/斤，猪肉5元/斤，啤酒3元/瓶），消耗的数量向量为d=（3。5斤，5斤，2斤，3瓶）；那么我上周的饮食消费就是向量P和d的内积：(2,1.5,5,3)(3.5,5,2,3)77.510933.5⋅=⋅=+++=pd元。另外内积的一个经典例子就是当一个物体从某处被拉到另一处的所做的功，下面我们把这个做功的图画出来来印证以上内积两大公式的一致性。我们假设是在一个斜坡上用力F斜上拉一个物体，位移为S（没有重力的情况下）。那么这个力F所作的功为（分量的分解见图左）：yyxxWSFSF+=另外，我们也可以把力F沿着S的方向和垂直S的方向（按照图右所示）进行分解，那么这个力F所作的功又可表示为θcosFSSF==sWFFxFySSxSyYXFSYXFsθOO由此，我们从物理原理上印证了内积两大公式的一致性。向量的内积两个定义的关系的数学推导下面我们对内积的定义进行推导来帮助大家确信这种关系：设O，P，Q为空间的三点，令，α，β夹角为θ，如图