空间向量及向量的应用

空间向量及向量的应用空间直角坐标系的原则：规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。设，，则：空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离：；空间线段的中点M（x，y，z）的坐标：；1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量）2：利用空间向量求线线角、线面角（1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则3：利用空间向量求二面角其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等，操作方法：1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(。转化为共面问题。（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[。射影转化法。（3）二面角的范围一般是指],0(，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法：斜面面积和射影面积的关系公式：cosSS(S为原斜面面积,S为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。2．空间的距离点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。3．空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离abEF如右图所示，a、b是两异面直线，n是a和b的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线a与b之间的距离是nnEFd；（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB是平面α的一条斜线，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离为nnABd；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n与2n，则平面α与β所成的角跟法向量1n与2n所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的夹角的余弦an,cos，易知θ=an,或者an,2。ABCnααβ1n2n向量的应用例题1.在四边形ABCD中，AB·BC=0，BC=AD，则四边形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由AB·BC=0知AB⊥BC.由BC=AD知BCAD.∴四边形ABCD是矩形.答案：C2.已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证：b⊥（a+tb）.解：（1）设a与b的夹角为θ，则|a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a·（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|cosθ=|b|2（t+||||bacosθ）2+|a|2sin2θ，所以当t=－||||bacosθ=－2||cos||||bba=－2|b|ba时，|a+tb|有最小值.（2）证明：因为b·（a+tb）=b·（a－2|b|ba·b）=a·b－a·b=0，所以b⊥（a⊥tb）.已知OA=a，OB=b，a·b=|a－b|=2，当△AOB面积取最大值时，求a与b的夹角.解：因为|a－b|2=4，所以a2－2a·b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a·b=8，S△AOB=21OA·OBsinθ=21|a||b|2cos1=21222||||）（baba=214||||22ba≤2142||||222）（ba=3，（当且仅当|a|=|b|=2时取等号）所以当|a|=|b|=2时，△AOB的面积取最大值，这时，cosθ=|b||a|ba=222=21，所以θ=60°.3.如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.ABCM证明：设AM=m，AB=b，AC=c，则m=2cb，m·m=2cb·2cb=41b2+21b·c+41c2=41AB2+41AC2+21AB·AC·cos∠BAC=41AB2+41AC2+21AB·AC·ACABBCACAB2222=41AB2+41AC2+41（AB2+AC2－BC2）.∴AM2=21AB2+21AC2－41BC2.又∵BC2=4BM2，∴AB2+AC2=2（AM2+BM2）.4.已知A（4，0），N（1，0），若点P满足AN·AP=6|PN|.（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（2）求|PN|的取值范围；（3）若M（－1，0），求∠MPN在［0，π］上的取值范围.解：（1）设P（x，y），AP=（x－4，y），PN=（1－x，－y），AN=（－3，0），∵AN·AP=6|PN|，∴－3（x－4）=6221）（）（yx，即3x2+4y2=12.∴3422yx=1.∴P点的轨迹是以（－1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，y0），P到右准线的距离为d，d=4－x0，dPN||=e=21，|PN|=21d=240x.∵－2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3.当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（－2，0）.（3）令|PN|=t（1≤t≤3），则|PM|=4－t，|MN|=2，cos∠MPN=||||2||||||222PMPNMNPMPN=）（）（tttt424422=－1+）（tt46.由1≤t≤3，得3≤t（4－t）≤4，∴21≤cos∠MPN≤1.∴0≤∠MPN≤3π.5.如图，已知△ABC的顶点坐标依次为A（1，0），B（5，8），C（7，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分.OABCPQxy解：设P分AB的比为λ1，则4=11151λ1=3，即||||PBAP=3，||||APAB=34.又BACAQAPBACACABSSAPQABCsin||||21sin||||21=||||APAB·||||AQAC=12，∴||||AQAC=23，即||||QCAQ=2.设λ2=QCAQ，则λ2=2.∴xQ=2271=5，yQ=2214=－38.∴Q（5，－38）.6.已知a=（31x2，x），b=（x，x－3），x∈［－4，4］.（1）求f（x）=a·b的表达式；（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角.解：（1）f（x）=a·b=31x2·x+x·（x－3）=31x3+x2－3x，x∈［－4，4］.（2）f（x）=x2+2x－3=（x+3）（x－1）.x－4（－4，－3）－3（－3，1）1（1，4）4f（x）+0－0+f（x）320↑极大值9↓极小值－35↑376故当x=1时，f（x）有最小值为－35.此时a=（31，1），b=（1，－2）.设θ为a与b的夹角，则cosθ=|b||a|ba=－22.又由θ∈［0，π］，得θ=4π3.