矩阵论广义逆矩阵

个人收集整理仅供参考学习1/11第六章广义逆矩阵当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵1A才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x=1Ab．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．1920年，，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视．直到1955年R.Penrose利用四个矩阵方程给出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展．目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用．个人收集整理勿做商业用途§6.1广义逆矩阵的概念定义6.1设A∈Cmn，如果X∈Cnm满足下列四个Penrose方程(1)AXA=A；(2)XAX=X；(3)()AXAXH；(4)H()=XAXA的某几个或全部，则称X为A的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X称为A的Moore-Penrose逆．个人收集整理勿做商业用途显然，如果A是可逆矩阵，则1XA满足四个Penrose方程．按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose方程的广义逆矩阵，一共有12344444CCCC15类．以下定理表明，Moore-Penrose逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的．定理6.1设CmnA，则A的Moore-Penrose逆存在且惟一．证设rankA＝r．若r＝0，则A是m×n零矩阵，可以验证n×m零矩阵满足四个Penrose方程．若r0，由定理4．19知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得个人收集整理勿做商业用途其中∑=diag12rσ，σ，…，σ，而12riiσ，，…，是A的非零奇异值．记则易验证X满足四个Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在．再证惟一性．设X，Y都满足四个Penrose方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)个人收集整理勿做商业用途从而A的Moore-Penrose逆是惟一的．证毕需要指出的是只要A不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．个人收集整理勿做商业用途个人收集整理仅供参考学习2/11定义6.2设CmnA，若CnmX满足Penrose方程中的第(i)，(j)，…，(l)等方程，则称X为A的{i，j，…，l}-逆，记为,,ijlA…,，其全体记为A{i，j，…，l}．A的惟一的Meore-Penrose逆记为A，也称之为A的加号逆．个人收集整理勿做商业用途在上述15类广义逆矩阵中，应用较多的是以下5类：A{1}，A{1，2}，A{1，3}，A{1，4}，A由于{1}-逆是最基本的，而A惟一且同时包含在15类广义逆矩阵集合中，所以1A与A在广义逆矩阵中占有十分重要的地位．以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论．个人收集整理勿做商业用途§6.2{1}-逆及其应用一、{1}-逆的计算及有关性质利用定理4.14的结果可以方便地求出{1}-逆．定理6.2设CmnrA(r0)，且有CmmmS和n阶置换矩阵P使得则对任意CnrmrLnm，矩阵是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．证因为容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．证毕需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．个人收集整理勿做商业用途例6．1已知矩阵241112121221A，求(1)(1,2)AA和．解4．8已求得1103312033111S，1324Peeee，，，使得从而由式（6．1），得利用等价标准形可以求出{1}-逆的全体．定理6．3设CmnrA，且CmmmS和CnnnT使得个人收集整理仅供参考学习3/11则121221221CrmrrILATSLLL，（6．2）证可知令X=T122122rILLLS．直接验证知AXA=A，即X∈A{1}．反之，若X∈A{1}，可设由AXA=A，得当11rLI，而12L，21L和22L为适当阶的任意矩阵时，上式成立．故式(6．2)右边给出了A的所有{1}-逆．证毕推论设CmnA，则A有惟一{1}-逆的充分必要条件是m=n，且rankA=n，即A可逆．这个惟一的{1}-逆就是1A．个人收集整理勿做商业用途下面定理给出了{1}-逆的一些性质．定理6．4设CmnA，(1){1}AA，则(1)H(1)H{1}AA，T(1)T{1}AA；(2)(1)(){1}AA，其中λ∈C，且1000≠，，＝（6．3）(3)当CmmmS，CnnnT时，有1(1)1(){1}TASSAT；(4)(1)rankrankAA≥；(5)(1)(1)rankrankrankAAAAA；(6)(1)mAAI的充分必要条件是rankA=m；(7)(1)nAAI的充分必要条件是rankA=n．证(1)～(3)由定义直接得到；(4)rankA＝rank(1)(1)rankAAAA≤；(5)与(4)的证明类似；个人收集整理仅供参考学习4/11(6)如果(1)mAAI，则由(5)，得反之，如果rankA=m．则由(5)知，(1)rankAA=rankA=m．又(1)AA是m阶方阵，从而它是可逆矩阵．注意到2(1)(1)AAAA，两边同乘1(1)AA即得(1)mAAI；个人收集整理勿做商业用途同理可证(7)．证毕二、{1}-逆的应用利用{1}-逆可以求解矩阵方程及线性方程组．定理6.5设CmnA，CpqB，CmqD．则矩阵方程AXB=D有解的充分必要条件是(6.4)其中(1){1}AA，(1){1}BB，当矩阵方程有解时，其通解为(1)(1)(1)(1)XADBYAAYBB(CnpY任意)(6．5)证如果式(6．4)成立，则(1)(1)ADB是AXB=D的解．反之，如果AXB=D有解，则将式(6．5)代入矩阵方程AXB＝D的左边并利用式(6.4)及｛1｝-逆的定义，可推出等于D，这说明式(6．5)是矩阵方程AXB＝D的解．反之，设0X是AXB＝D的任一解，则有个人收集整理勿做商业用途它相当于在式(6．5)中取0YX．故式(6．5)给出了AXB＝D的通解．证毕推论1设CmnA，(1){1}AA，则有证由定理6．5可知，AXA＝A的通解为(1)(1)(1)(1)XAAAYAAYAA(CnmY任意)令(1)YAZ，代入上式得证毕上述推论用某一个给定的(1)A，便给出了集合A｛1｝的全部元素．推论2设CmnA，Cmb．则线性方程组Ax＝b有解的充分必要条件是(1)AAbb(6．6)其中A(1)∈A｛1｝．如果Ax＝b有解，其通解为(1)(1)()(C)nxAbIAAyy任意(6．7)个人收集整理仅供参考学习5/11从式(6．7)可以看出：Ax＝b的通解由两部分构成，其中(1)Ab是Ax＝b的一个特解，而((1)IAA)y为Ax＝0的通解．个人收集整理勿做商业用途例6．2用广义逆矩阵方法求解线性方程组解令A=241112121221，b=514例6．1已求得A的｛1｝-逆为(取α=β=0)容易验证所以线性方程组有解，且通解为（1234,,,Cyyyy任意）推论2表明，利用某个{1}-逆可以解决线性方程组的求解问题．反之，利用线性方程组的解也可以给出{1}-逆．个人收集整理勿做商业用途定理6．6设CmnA，Cmb，CnmX．若对于使得线性方程组Ax=b有解的所有b，x=Xb都是解，则{1}XA．证记ja为A的第j列，则线性方程组Ax=ja都有解(因为jxe就是解)．由于jxXa是线性方程组的解，即从而故X∈A｛1｝证毕三、由{1}-逆构造其他的广义逆矩阵利用{1}-逆可以构造出其他的广义逆矩阵．定理6．7设CmnA，Y，Z∈A{1}．记X＝YAZ，则X∈A{1，2}．证由定义直接得到．证毕因为在Penrose方程(1)和(2)中，A与X的位置是对称的，所以X∈A{1，2}与A∈X{1，2}是等价的，即A和X总是互为{1，2}-逆，这与通常逆矩阵所具有的性质11A=A类似，因此也经常称之为自反广义逆矩阵．个人收集整理勿做商业用途引理6．1设CmnA，CnpB，且rank(AB)＝rankA．则存在矩阵CpnW，使得A＝ABW．证将A按列分块为A＝(12,,,naaa…)，考虑线性方程组()jABxa(j=1,2,…,n)(6．8)因为个人收集整理仅供参考学习6/11rank(AB)≤rank(AB，ja)=rank(AB，jAe)=rank[A(B，je)]≤rankA=rank(AB)所以rank(AB，ja)=rank(AB)，即式(6．8)的诸线性方程组都有解，设(AB)jjwa(j=1，2，…，n)，W=(12n)则有A=(12,,naaa…,)=AB(12,,n…,)=ABW证毕在式(6．1)中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．定理6．8设C,{1}mnAXA，则{1,2}XA的充分必要条件是rankX=rankA．证若X∈A{1，2}，则有rankA=rank(AXA)≤rankX=rank(XAX)≤rankA即rankX=rankA．反之，若X∈A{1}，且rankX=rankA．由定理6.4知rankX=rankA=rank(XA)从而根据引理6.1，存在矩阵nmWC，使得X=XAW，故XAX=XA(XAW)=XAW=X即X∈A{1，2}．证毕为了构造{1，2，3}-逆和{1，2，4}-逆，要用到HAA与HAA的{1}-逆．定理6．9设mnAC，H(1)H()(){1}AAAA，(1)HH(){1}AAAA，则Y=(1)HHAAAA{1，2，3}，Z=HH(1)()AAAA{1，2，4}证由定理1.26知rank(HAA)=HrankA，rank(HAA)=rankA根据引理6．1，存在nmWC，使得HHAAAW或HHAWAA于是AYA=HHH(1)HHH()WAAAAAAWAAA即Y∈A{1}．由{1}-逆的性质知rankY≥rankA，又有rankY=rank(1)HHHrank()rankAAAAA≤个人收集整理仅供参考学习7/11故由定理6．8得Y∈A{1，2}．又因为AY=(1)(1)HHHHHHHHWAAAAAWAAAAAAW=HHWAAW可见HAYAY，故Y∈A{1，2，3}．同理可证Z∈A{1，2，4}．证毕定理6．10设CmnA，且(1,3)(1,4){1,3},{1,4}AAAA．则证记(1,4)(1,3)XAAA．由定理6．7知X∈A{1，2}．又因为所以所以可见X∈A{1，2，3，4}．由于A{1，2，3，4}只含一个元素A，故XA．证毕§6．3Moore-Penrose逆A一、A的计算及有关性质定理6．1给出了利用奇异值分解求A的方法．这里给出的利用满秩分解求A的方法较为简便．定理6．11设CmnrA(r0)，且A的满秩分解为A=FG(C