圆心角--弧-弦-弦心距之间的关系定理知识点及练习

圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。若∠AOB=∠A＇OB＇，则AB⌒=A'B'⌒，AB=A＇B＇，AM=A＇M＇2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中；②同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。③“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“AOBAB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧；④在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。⑤在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。3、应用（1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；（2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。（3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。（4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。例：如图，为⊙的弦，，、交于、。CDOACBDOAOBCDFE求证：OE＝OF证法一：连结OC、ODOCODCD，ACBDCOABOD，（等弧所对的圆心角相等）COFDOEOEOFOCDABFEOCDABFEOCDABFEMN证法二：过O点作OM⊥CD于N交⊙O于MCMMD又，CABDAMMBAOMBOM又，FNOENOONON90OFNOENOFOE练习一、选择题1、下列说法中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、相等的弧所对的圆心角相等C、相等的弦所对的弦心距相等D、弦心距相等，则弦相等2、半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为（）A.5cmB.43cmC.6cmD.33cm3、在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一个圆心角∠COD的2倍，则下列式子中能成立的是（）A.ABCD2B.ABCD2C.ABCD2D.ABCD24.在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A.42B.82C.24D.165.在⊙O中，两弦AB＜CD，OM、ON分别为这两条弦的弦心距，则OM、ON的关系是（）A.OMONB.OMONC.OMOND.无法确定6、如图1，ABC内接于⊙O，445，ABC则⊙O的半径为（）.A．22B．4C．32D．57、如图2，在⊙O中，点C是AB的中点，40A，则BOC等于（）.A．40B．50C．70D．80如图4如图5如图68、如图3，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，BAC20，ADCD，则∠DAC的度数是（）A.70°B.45°C.35°D.30°DAOBC二、填空题1、如图3，A、B、C、D是⊙O上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，55,100OBCAOB，OEC=度.2、如图4，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，130D，则BAC的度数是.3、如图5，AB是半圆O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为cm.4、一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为____________。5、一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。6、在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。4.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于E，且∠AEC＝30°，AE＝1cm，BE＝5cm，那么弦CD的弦心距OF＝_______cm，弦CD的长为________cm。7、已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一已知点P的最短的弦长为8cm，则OP＝_______。8‘已知A、B、C为⊙O上三点，若ABBCCA、、度数之比为1：2：3，则∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。9、已知⊙O中，直径为10cm，AB是⊙O的14，则弦AB＝_______，AB的弦心距＝______。三、解答题1.如图1：已知，OA为⊙O的半径，AC是弦，OB⊥OA并交AC延长线于B点，OA＝6，OB＝8，求AC的长。2.如图2，ABC中，A70，⊙O在ABC的三边上所截得的弦长都相等，求∠BOC的度数。3、如图3，C是⊙O直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD＝CO，使AD的度数40°，如图3如图21求BE的度数。OACBOABCOCABDE四、证明题1、已知：如图1，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。OCBADNMOACEBD2、如图：已知，⊙O中，ABBCCD，OB、OC分别交AC、DB于M、N。求证：OMN是等腰三角形。3、如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E。求证：DE＝AE。112233