高数课件

医学高等数学教程何文广数学与计算机教研室课程内容设置与考核安排•授课内容：第一、二、三、四、八章•考核方式：期末闭卷笔试+平时作业•考试时间：课程结束后一星期第一章函数、极限与连续第一节函数高等数学研究对象：初等函数(P9)基本初等函数(六类，P6-8)复合函数定义域、值域例:y=3的定义域是(-,+),值域是{3}1[1,)[0,).yx例:的定义域是,值域是自变量所有允许值的集合称为函数的定义域。所有函数值的集合称为值域。函数的两个要素2211:(1)()();11()||().xfxgxxxfxxgxx例与(2)与函数的两个要素DRƒ定义域对应关系值域函数相同的条件:(1)对应关系;(2)定义域.只有当上述两条件完全相同时,才认为是两个函数相同.6.区间区间的定义:界于某两个实数a和b(ab)之间的全体实数被称为一个区间.a,b称为区间的端点。(,){|}abxaxb开区间：[,]{|}abxaxb闭区间：(,]{|}abxaxb左开右闭区间：[,){|}abxaxb左闭右开区间:7.邻域定义：以x0为中心,以（0）为半径的开区间称为x0的一个邻域,x0叫做邻域的中心,叫做邻域的半径.记为U(x0,)或(x0),即U(x0,)=(x0-,x0+)例8:(-1,1)是一个开区间,也是0的一个1邻域.|y-y0|是y0的一个邻域0x20x0x00(,)()xx去心邻域（空心邻域）：U或函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性1．函数的有界性:,)(,,0,成立有若MxfXxMDX..)(否则称无界上有界在则称函数XxfM-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX0x无界有界和无界是对立的,非此即彼的；如函数y=1/x在区间(1,+∞)上有界，但是在(0,1)上无界。有界性是相对于一定区间来讲的概念，函数在某一区间上有界，但是在另一区间上可能无界；归纳2.函数的单调性若函数y=f(x)的定义域是D，如果在D的某个子区间I中内任取两个值x1和x2,当x1x2时,有f(x1)f(x2),则称该函数在区间I上是单调递增.单调递增函数的图形是沿x轴的正向上升的.如下图所示xyxy若函数y=f(x)的定义域是D，如果在D中的某个子区间I中任意取两个值x1和x2,当x1x2时,有f(x1)f(x2),则称该函数在区间I上是单调递减.单调递减函数的图形是沿x轴的正向下降的.如下图所示xyxy单调递增和单调递减函数统称为单调函数2．函数的单调性:【注意】函数的单调性是一个局部性的性质,它与区间有关.3.函数的奇偶性奇函数:对于函数y=f(x)定义域D中的任意一点x(-x∈D),恒有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为D内的奇函数（oddfunction）.定义域Ｄ就应该是对称于原点的数集,即当x∈D时,有-x∈D奇函数的图形是关于原点对称的.偶函数:对于函数y=f(x)定义域D中的任意一点x(-x∈D),恒有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为D上的偶函数（evenfunction）.定义域Ｄ就应该对称于原点的数集,即当x∈D时,有-x∈D偶函数的图形是关于y轴对称的.3．函数的奇偶性:【注意】奇偶性是相对于定义域而言的。判断奇偶性时定义域必须关于原点对称。例：y=sinxx∈[-1,2]非奇非偶函数例：y=sinxx∈[-1,1]奇函数【说明】存在既是奇函数又是偶函数的函数。判别函数奇、偶性3(1)()|sin|1(2)()(22)cos2(3)()arctan(sin)xxfxxxfxxfxx例：判断下面函数的奇偶性　　:()(),:()()fxfxfxfx偶函数奇函数答案（1）是非奇非偶函数；（2)是偶函数；（3）是奇函数例：考察函数f(x)=0的奇偶性.2()()()fxfxGx假设函数f(x)的定义域是关于原点对称的数集我们来考察下面两个函数的奇偶性：f(x）＋f(-x)F(x)=2解：由于F(-x)=F(x)且G(-x)=-G(x)，所以F(x)是偶函数，G(x）是奇函数。4.函数的周期性对于函数y=f(x),xD,如果存在非零常数T,对任意的xD,x+TD,恒有f(x+T)=f(x),则我们称函数f(x)为D上的周期函数（periodicfunction）.T称为函数y=f(x),xD的周期.1.周期函数的定义域一定是一个无穷区域.2.周期函数的图形在每一个周期中都是相同的形状.3.通常,周期函数的周期T都是指最小正周期;但是并不是每个函数都有最小正周期.命题：T是函数f(x)的周期,则T/a是f(ax)的一个周期.例子(1)()arctan(tan);(2)()1cos2.fxxfxx：求下面函数的周期　　例1.y=sinx,x(-,)是一个以2的周期函数.2.y=cosx,x(-,)是一个以2的周期函数.3.y=tanx,xn±/2是一个以的周期函数.4.y=cotx,xn是一个以的周期函数.4．函数的周期性:并非所有的周期函数都有最小正周期！例如函数(为常数)及狄利克雷(Dirichlet)函数cxf)(c为有理数01)(xD为无理数xx所有的有理数均为函数的周期,但没有最小正周期.例：y=tan(arctanx)与y=arctan(tanx)是周期函数吗？需要注意的问题：周期函数的定义域一定且必须是是无穷区域。三、初等函数1.六类基本初等函数(basicelementaryfunction)1、常数函数y=c（c为常数）2、幂函数y=xa(a为任意实数)3、指数函数y=ax(a0,a≠1)4、对数函数y=logax(a0,a≠1)5、三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx6、反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx2101()1xxfxxx分段函数：某些函数,对于其定义域内自变量不同的值,不能用一个统一的解析表达式表示,而要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数(piecewisefunction).如:8.分段函数320(3)(2)|1;(0)11;(2)0.xxfxfxf:　　　　解2(2),2:()1,21.0,1(3),(0),(2).例xxfxxxxfff　　设　　　求　　复合函数例.].1,1[1,,1),0[,22xxyRxxuuuy的定义域为数则由它们构成的复合函及设有函数复合的条件是什么？例：设,2)(,arcsin)(2xxuuufy求)].([xf例：设,sin)(,)(2xxxxf求)].([)],([)],([)],([xxfxffxf解显然给出的函数符合复合的条件，因此;sin)()]([22xxxf;)()]([)]([4222xxxfxff;sin)](sin[)]([2xxfxf).sin(sin)](sin[)]([xxx例.?)1ln(arccos2函数复合而成是由哪几个函数xy解:,arccosuy它是由以下几个函数复合而成:.12xw,lnwv,vu复合函数的分解复合函数有什么特性？?譬如，设函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]的奇偶性如何？（这里假定复合后都是有意义的）答案：f[f(x)]是奇函数，其余均为偶函数.结论：假设外函数和内函数都是奇（或偶）函数，如果至少有一个是偶函数，那么复合函数一定是偶函数，否则就是奇函数.复合函数的其他特性请大家自己课下考察.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数,称为初等函数.,1)(2xxxf2lg,tansin1xxyyxxex例如:111arctan21sin)(2222xxxexx例.?0,1是否初等函数幂指函数xxyx解:xxxexyln11.,ln是一个初等函数合而成两个函数复与它是由xxueyu特别的，.),0,0,(2的形式改写为初等函数因为它可以例外函数xyxxxxy一般说来,分段函数不是初等函数.分段函数第二节极限—高等数学的研究工具函数的极限定义无穷小量与无穷大量重要极限1、数列的极限)(limnAaAannn或定义：对于数列{an},当n无限增大时,若an无限接近于一个确定的常数A,则称当n趋于无穷大时,an收敛于A(或极限(limit)为A)为,记为例如:lim11nnn1lim0nnnn数列{2}和{(-1)}均发散否则称该数列发散（divergence）.一、函数的极限关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的极限时即)(,xfx二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势的极限时即)(,0xfxx)(xfyaxyoDef.设在内有定义，当x趋于时，若函数无限接近于一个常数a，称a为当x趋于时的极限，or)(xf),()(xfaxfx)(lim)()(xaxf自变量趋向无穷大时函数极限的概念同理可定义，时的极限xx)(xfRemark1f(x)在自变量趋向于无穷时收敛，当且仅当时函数收敛，同时时函数也收敛，f(x)才叫做收敛的。xx例如，在时收敛吗？xyarctanxRemark2发散有两种情况,)()1(xf称函数发散至无穷)()2(xf在两个或多个数值之间振动2xyxysinDef.3设函数在的去心邻域内有定义，当无限接近于时，如果函数能够无限接近一个常数，称为当趋于时的极限，记为or)(xf)(xf0x,)(lim0axfxx0x)()(0xxaxfx0xxaa自变量趋向于有限值时函数极限的概念Remark1f(x)在处可以没有定义。0xRemark2f(x)在自变量趋向于有限值收敛，当且仅当时函数收敛，同时时函数也收敛，f(x)才叫做收敛的。0xx0xx同理可定义，时的极限。0xx0xx)(xf例子011023,0()3,013.1:lim(),lim(),lim(),lim()xxxxxxfxxxxfxfxfxfx求解：这是分段函数，f(x)在x=0,1处的左右极限分别是:00001111233333332lim()lim();lim()limlim()lim;lim()lim()xxxxxxxxfxxfxfxfxx236lim53xxxx例*：试证明0,03x证：不妨取，则当时226(3)533(3)xxxxxx故命题得证例16：求极限222sinlimxxxx例17：求极限111()lim[]nnn2222221200sinxxxxxxxxxxx111111110()(lim)nnnnnn适当放缩二、无穷小量与无穷大量1、无穷小量与无穷大量的定义定义：极限为零的变量称为无穷小.极限为无穷的变量称为无穷大.无穷小(大)是变量,不能与很小(大)的数混淆;Remark1xxxx1lim,1lim0称函数为无穷小或者无穷大，必须指明自变量的变化过程；Remark2零是可以作为无穷小的唯一的数.Remark3无穷大量特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim()(lim)()(00xfxfxxxxxx或Remark4.)(lim0认