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数字信号处理周治国2016.9第二章离散时间信号与系统分析基础3/30§2-7Z变换一、Z变换的定义()()()()()()(){}ZnnjnjnjnnnnXzxnzzreXzxnrexnreFxnrLCTSASFDTF∞-=-∞∞∞----=-∞=-∞⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩⇒=⋅=⋅=∑∑∑变换是的复频域变换，是变换的推广，把不绝对可积的信号变为指数函数的积分形式；变换是变换的推广，把不绝对可和的信号变为指数函数的求和形式；z是一个复变量4/30§2-7Z变换二、收敛域(ROCRegionofConvergence)()()()ZZzznnnnxxxnxnzxnzRzR∞-=-∞∞-=-∞-+∞∑∑定义：使某一序列的变换级数收敛的平面上所有值的集合。收敛条件：一般幂级数收敛域为平面上某个环形区域：P36收敛域与零极点关系5/30§2-7Z变换三、序列特性与收敛域1.有限长序列2.右边序列3.左边序列4.双边序列例：求单位取样序列的z变换。解：单位取样序列是有限长序列的特例，所以其ZT为：收敛域为：即是整个Z平面。()nd021==NN[]()0δ()δ11nnnnZnnzz+∞--==-∞==×=∑（1）有限序列∞≤≤z0（2）右边序列其ZT为收敛域为：如右图所示1()()0xnnNxnn≥⎧=⎨⎩，，为其他值∑∞=-=1)()(NnnznxzXxzR-ImjRe收敛域xR-Z平面特例：如果右边序列的，则称该序列为因果序列。其ZT的收敛域为。01≥NxRz-≤∞P37（3）左边序列其ZT为：收敛域为：2()()0xnnNxnn≤⎧=⎨⎩，，为其他值∑-∞=-=2)()(NnnznxzX+zRzRe收敛域Z平面xR+jIm特例：如果左边序列的，则称该序列为逆因果序列，其收敛域为：可见，收敛域可以包括002≤N+≤zRz0（4）双边序列双边序列是从一直延伸到的序列，它可被看做是一个右边序列和一个左边序列的和。因此它的ZT为和分别左边序列和右边序列的ZT。n∞-∞+1012()()()()()()nnnnnnXzxnzxnzxnzXzXz+∞-+∞---=-∞=-∞===+=+∑∑∑)(1zX)(2zX双边序列ZT的收敛域是这两个序列ZT的收敛域的公共部分，即为一个环域：如果，则无收敛域，所以该序列的ZT不存在。+-zzRzR+-≥zzRR()zXRexR-xR+收敛域Z平面jIm11/30§2-8L变换、F变换与Z变换关系一、序列Z变换与L变换关系()()()ˆanxtxnTtnTd∞=-∞=-∑理想取样信号：()()()()()()()ˆˆststanstansnTanXsxtedtxnTtnTedtxnTtnTedtxnTedd∞--∞∞∞--∞=-∞∞∞--∞=-∞∞-=-∞==-=-=∫∑∫∑∫∑()()nanXzxnTz∞-=-∞=∑ZLsTze=当时，变换就是变换12/30§2-8L变换、F变换与Z变换关系一、序列Z变换与L变换关系232sTjjsTTjTTzesjzrezreeeezrezTwwssswΩ==+Ω⎧⎨=⎩⇒===⎧==⇒⎨∠==Ω⎩-g映射关系：见图jIm[]zRe[]zjIm[]zRe[]zs2ΩsΩsΩs2-ΩsjΩsjΩsjΩszT∠=ΩTzes=zz平面s平面1z=注意s与z关系z平面上单位圆由s平面变为z平面14/30§2-8L变换、F变换与Z变换关系二、序列Z变换与F变换关系()()()ZF1|jjjnzenrXzXexne∞-==-∞===∑单位圆上的变换即序列的变换，()()()()()(){}|jnjjzrennjnnnXzXrexnrexnreFxnr∞-==-∞∞---=-∞==⋅=⋅=∑∑15/30§2-9逆Z变换1、留数围线积分法2、幂级数展开法3、部分分式展开法16/30§2-10Z变换的定理与性质1、线性2、序列的移位3、乘指数序列4、X(z)的微分5、复数序列的共轭6、初值定理7、终值定理8、序列的卷积9、序列乘积的Z变换-复卷积定理10、帕斯维尔定理17/30§2-12系统函数一、系统函数的定义()()()()()()()()()()()()()()()1Z1jynxnhnYzXzHzYzHzXzhnZHzHzhnHzzHew-=*=⇒=⇒=⎡⎤⎣⎦=系统函数是单位取样响应的变换；如果收敛域包含单位圆，则单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。18/30§2-12系统函数二、系统函数和差分方程()()()()()()()()()()000000111111NMkrkrNMkrkrkrMrrrNkkkMrrNkkaynkbxnrZazYzbzXzbzYzHzXzazczHzAdz==--==-=-=-=-=-=-⇒=⇒==-⇒=-∑∑∑∑∑∑∏∏变换A除比例常数以外，整个系统函数可由其全部极、零点确定。19/30§2-12系统函数三、系统函数的收敛域Ø稳定系统Ø因果系统Ø稳定因果系统()nshn∞=-∞=∞∑()00hnn=()()()()1jHzzHeHzHzw=∞稳定系统：系统函数在单位圆上收敛，系统的频率响应存在。因果系统：收敛域为通过离原点最远的的极点的圆的外部。因果稳定系统：系统函数必须在从单位圆到的整个区域收敛，即系统函数的全部极点必须在单位圆以内，且收敛域包含单位圆。一定要理解20/30§2-12系统函数四、系统频率响应的几何确定法()()()()()()()()()()()()1111111111oBMMrrMNrrNNkkkkMjrjMNjrNjkkjrkjrrkkrjMNjczzcHzAAzdzzdecHeAeedzcdzecOCdODzeOBCBHeAe==-==--==----==---=-×======∏∏∏∏∏∏uuuuruuuuruuuru设收敛域包括单位圆，系统频率响应为：平面上零点标志为“”极点标志为“”，单位圆上的位置用表示；；11MrNkkDB==∏∏uuuruuuur0jIm[]zRe[]z1C1D2DB1CB1DB2DB单位圆2b1baw21/30§2-12系统函数四、系统频率响应的几何确定法()()()()()()111111MrjMNjrNkkMrjrNkkMNrkrkCBHeAeDBCBHeADBMNMN=======⎧⎪⎪==⎪⎪⎨⎪=---⎪⎪⎪=-⎩∏∏∏∏∑∑uuuuruuuur以极坐标表示：各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积零矢量幅角之和-积矢量复角之和-22/30§2-12系统函数四、系统频率响应的几何确定法(图2-35)0jIm[]zRe[]z1C1D2DB1CB1DB2DB单位圆2b1baw0p2p0p2p()jHew()jwpp-系统函数的零极点矢量图系统的振幅特性和相位特性可见，知道系统的零极点分布后，就能很容易确定零极点位置对系统特性的影响：（1）当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点矢量长度就愈短，峰值就愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为∞,系统不稳定。（2）当B点转到零点附近时，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值就愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。结论：极点位置主要影响频响的峰值及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状。作业•Z变化的图形显示